Pavages du plan

Chacun a déjà vu des pavages: les nids d'abeilles, les rues pavées des cités médiévales, le carrelage des salles de bains, le parquet des salons, les mosaïques des mosquées, mais aussi le papier peint, les nappes de table de cuisine, les papiers cadeau, les robes à fleurs, etc. D'une manière plus générale, il s'agit de recouvrir une surface avec un motif sans qu'apparaisse le moindre trou.
Les pavages qui nous intéressent ici sont dits invariants par translation (type 1 dans le tableau ci-dessous). Cela signifie que l'on peut reproduire une partie du décor sur un calque et déplacer ensuite ce calque par une translation pour recouvrir exactement une autre partie du décor. Le but du jeu consiste à trouver le plus petit motif qui permettra de générer tout le pavage.

Les 17 types de pavages

Il existe toujours une isométrie qui amène un pavé sur un autre pavé quelconque, mais qui de plus conserve l'ensemble du pavage. De plus ce pavage s'étend à l'infini; il existe donc des translations dans des directions différentes. On peut caractériser, partiellement, le pavage en décrivant son groupe d'automorphismes. Ce groupe contiendra toujours des translations dans plusieurs directions, mais il pourra également contenir des rotations, des symétries axiales, des symétries glissées.

Translation Rotation
Symétrie axiale Symétrie glissée

Il n'est guère difficile de montrer qu'il ne peut exister que des rotations de 60, 90, 120 et 180 degrés. Ces groupes constituent ce que l'on appelle les groupes cristallographiques par analogie avec les groupes conservant les cristaux dans l'espace euclidien à 3 dimensions. Il en existe 17 types (Wallpaper Groups en anglais). Les figures ci-dessous sont tirées de l'excellent site Introduction to Tilings (Science U).


















Cliquez sur le numéro pour voir
la construction animée du pavage

Motifs minimums translatables

En fait, tous les pavages peuvent être produits par de simples translations, à condition de prendre un motif suffisamment grand, que l'on appellera motif minimum translatable. La figure ci-dessous montre un pavage où on a mis en évidence un motif minimum (un lézard) et un motif minimum translatable (trois lézards).


1
2
3
4
5

6
7
8
9
10

11

12
13
14
15

16
17		 Motifs minimums translatables des 17 types de pavages

Reptiles
Lithographie, 1943, 33.5 x 38.5 cm

M.C. Escher

Maurice Cornelis Escher (1898-1972), graveur néerlandais, n'est pas l'un de ces surréalistes qui nous entraînent dans un monde onirique. Il est un bâtisseur d'impossibles univers, qu'il représente dans ses oeuvres sous une forme précise et d'après les lois de la construction. Le résultat en est un jeu intellectuel déroutant, comportant dimensions et perspectives, plaçant le spectateur devant les limites de ses propres sens.
La fascination qu'exercent sur Escher les mosaïques et carrelages de l'Alhambra de Grenade le poussera à réaliser ce qu'il appellera des "remplissages" qui feront son succès: "C'est la source d'inspiration la plus riche que j'aie jamais connue et elle ne s'est jamais tarie. Les dessins de symétrie montrent comment une surface peut être divisée et remplie par des figures de formes similaires, contiguës les unes aux autres, sans laisser d'espaces blancs. Les Maures étaient passés maîtres dans cet art. Ils décoraient les murs et les sols, en particulier à l'Alhambra de Grenade, de pièces de majolique congruentes et de différentes couleurs sans espaces libres. Quel dommage que l'Islam ne leur ait pas permis de faire des dessins figuratifs. Ils se sont limités aux figures géométriques abstraites. [...] Cette restriction m'est d'autant plus difficile à accepter que la représentation figurative des composantes de mes propres dessins a toujours été la raison de mon intérêt inépuisable dans ce domaine."
Les oeuvres d'Escher ont d'abord intéressé les scientifiques, notamment les cristallographes, qui s'attachent aux problèmes de symétrie, de répétition. Ce n'est qu'à partir de 1951 que ses "remplissages" font l'objet d'articles dans la revue d'art The Studio.

Voici des sites pour en savoir plus sur M.C. Escher:

Liens et références

  Didier Müller, 30.5.01