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Problème 155
Partitions premières d’un rectangle
ABCD est un rectangle tel que AB ≥ AD. AB, AD, AE et AF sont des longueurs entières.
Une configuration est dite première lorsque les 8 surfaces S
i
(i = 1, 2, ..., 8) sont entières et premières entre elles (globalement et pas deux à deux).
Deux configurations premières G et G’ sont dites équivalentes si : {S'
1
, S'
2
, S'
3
, S'
4
, S'
5
, S'
6
, S'
7
, S'
8
} = {S
1
, S
2
, S
3
, S
4
, S
5
, S
6
, S
7
, S
8
} (on parle bien d'ensembles).
Parmi un ensemble de configurations premières équivalentes, on convient d'appeler configuration principale celle telle que AB est minimal (ce qui revient à choisir celle de périmètre minimal ou encore celle se rapprochant le plus d’un carré...).
Exemples
(AB, AD, AE, AF) = (10, 6, 5, 3) est la plus petite configuration principale, avec : (S
1
, S
2
, S
3
, S
4
, S
5
, S
6
, S
7
, S
8
) = (10, 3, 3, 16, 12, 12, 2, 2), et une aire totale de 60.
(21, 16, 14, 8) est une configuration principale qui donne (70, 8, 21, 99, 48, 63, 6, 21), et une aire totale de 336.
Soit N le nombre de configurations premières principales lorsque AB ≤ 100. Ces N configurations donnent seulement (N – k) aires totales distinctes, car k d'entre elles sont obtenues deux fois. On note P la somme de ces k aires.
Que vaut N x P ?
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