Le blog-notes mathématique du coyote

Le magazine en ligne "Plus" propose 5 articles en anglais sur des découvertes d'Euler.

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Pourquoi pouvait-on naître un 29 février en l’an 2000 et pas en 1900 ? Certains soutenaient que comme en 1900 ou 1800, cette année ne serait pas bissextile ; d’autres au contraire, affirmaient que 2000 était une année à part... Mais au fait, pourquoi dit-on année « bissextile » ? et depuis quand ? Toutes ces questions étaient un très bon prétexte pour se pencher sur l’histoire de notre calendrier d’introduire les fractions continues.

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Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π. On trouve sur le blog du professeur Rometus un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations.

La tablette d’argile enregistrée sous le numéro 322 de la collection Plimpton, aujourd’hui conservée à l’Université Columbia, New York, est probablement la plus connue des tablettes mathématiques de Mésopotamie. Depuis sa publication par Neugebauer et Sachs en 1945 (voir bibliographie), elle a fait l’objet de plus d’une vingtaine d’articles spécialisés, écrits pour une bonne partie par des mathématiciens, et elle est citée dans d’innombrables publications de recherche ou pour le grand public. L’intérêt pour « Plimpton 322 » ne se tarit pas et témoigne de la fascination que ce texte écrit il y a 4000 ans a exercée, et continue d’exercer, sur beaucoup de mathématiciens, sans doute à cause de sa parenté avec la recherche des triplets dits « pythagoriciens ». A tout seigneur tout honneur, Images des Mathématiques se devait de lui consacrer un article.

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Ce fut l'un des précurseurs du langage informatique. Google consacre son doodle au mathématicien britannique George Boole ce lundi 2 novembre 2015, pour le 200e anniversaire de sa naissance.
Sur le doodle, les cinq lettres du moteur de recherche changent de couleur et sont reliées à des petits rectangles sur lesquels on lit "x AND y", "x XOR y", "x OR y", "NOT y", "NOT x". Ce doodle est en fait composé de 4 images, qui correspondent aux 4 états possible de x et y (00, 01, 10 et 11).

George Boole est connu pour ses deux ouvrages fondamentaux, Analyse mathématique de la logique (1847) et Recherches sur les lois de la pensée (1854). Sa principale contribution a été d'appliquer l'algèbre à la logique, au moyen d'équations, ce qui a donné naissance à ce qu'on a ensuite appelé "l'algèbre de Boole". L'algèbre de Boole modélise des raisonnements logiques au moyen d'équations, et traduit des signaux en expressions mathématiques. Dans sa forme la plus épurée, cette algèbre définit les éléments "booléens" comme des variables susceptibles de prendre deux valeurs s'excluant mutuellement, par exemple 0 et 1: c'est l'algèbre binaire, base du langage informatique, utilisée dans la fabrication des transistors, des circuits électroniques et des ordinateurs.
George Boole a ainsi concrétisé le projet de langage logique universel cher à René Descartes et à Gottfried W. Leibniz.
Issu d'une famille pauvre, George Boole était doté d'une intelligence supérieure à la moyenne qui lui a permis, au début du XIXe siècle, d'apprendre seul, ou presque, le latin, le français, l'allemand et l'italien, avant de devenir enseignant à l'âge de 16 ans puis de se lancer dans les mathématiques auxquelles son père l'avait initié dans son enfance. Il consacrera le reste de sa carrière à l'élaboration de son algèbre binaire.
George Boole a épousé en 1855 Mary Everest, nièce de sir George Everest, le responsable de la mission cartographique qui baptisa le mont Everest, et le couple eu cinq filles. Le mathématicien est mort d'une pneumonie le 8 décembre 1864 à l'âge de 49 ans.

Sources : francesoir.fr (texte), tagseoblog.com (vidéo)

Fondé en 1948, le Séminaire d’histoire des mathématiques de l’Institut Henri Poincaré est un haut lieu d’échanges entre histoire et mathématiques. La séance du 23 mai 2014 était consacrée aux interactions entre histoire des mathématiques et (histoire de) l’informatique.

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Aujourd'hui Google consacre un doodle à un mathématicien Muhammad Aboûl-Wafâ, né en 940 à Bouzjan et mort en 998 à Bagdad était un astronome et mathématicien persan et musulman principalement connu pour ses apports en trigonométrie plane et en trigonométrie sphérique.

Emmy Noether n'était pas une personne ordinaire ... besoin d'une preuve ? Albert Einstein était fan de son travail. Il dira d'ailleurs à son sujet qu'elle est « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures » Elle est l'auteur de contributions révolutionnaires destinés aux domaines de l'algèbre abstraite et la physique théorique.

Dans un intéressant article, Olivier Courcelle se demande si Evariste Galois est bien né un 25 octobre, et pas plutôt le 26.

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Le mathématicien et logicien britannique John Venn est né le 4 août 1834. Google lui rend hommage via un Doodle interactif, qui permet de comprendre son invention principale: les diagrammes de Venn.
Le Doodle interactif pensé par Google, qui a remplacé les schémas géométriques par une iconographie ludique et enfantine. En cliquant sur le cercle «mammifères» d'un côté et «avec des ailes» de l'autre, la réunion des deux représente une adorable chauve-souris. Les designers du Doodle n'ont pas hésité à y glisser une touche d'humour par des associations aussi logiques que poétiques. Ainsi, en cliquant sur «musical» et «tout petit», on obtient... une jolie petite boîte à musique surmontée d'une danseuse classique!
Le designer Mike Dutton explique sur la page Internet du Doodle que son équipe souhaitait «faire quelque chose que les enfants trouveraient amusant et pédagogique.» Sa combinaison favorite? Le «kraken», pieuvre géante qui surgit lorsqu'on sélectionne «vie de la mer» et «mythique». «J'ai adoré l'idée de prendre quelque chose qui soit tout à fait terrifiant, comme une grande créature des mers dévorant un bateau entier, et d'en faire un petit mec qui s'amuse.» Le concepteur conclut: «Tant que le schéma se vérifie logiquement, c'était amusant de prendre des libertés dans les révélations finales».

Source : Le Figaro.fr

Aujourd'hui, Google rend hommage à Maria Gaetana Agnesi, via un de ses célèbres Doodle.

La courbe que l'on voit sur le Doodle est appelée "la sorcière d'Agnesi".

Mathématiques en asile d’aliénés
André Bloch (1893-1948)
Par Michèle Audin

À la suite d’un triple meurtre, André Bloch a travaillé (à des théorèmes de mathématiques) dans un hôpital psychiatrique. Un lieu qui sert d’« ailleurs » à cet article.

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Les tables de multiplication les plus vieilles datent de plus de 4000 ans, elles viennent des Babyloniens. Cependant, ces dernières ne ressemblent pas à ce que l'on peut imaginer, puisqu'elles étaient en base 60. Pour retrouver des tables de multiplication plus classiques, c'est-à-dire en base 10, il faut retrouver des fragments beaucoup plus modernes. C'est dans de fines bandelettes de bambous que l'on vient de retrouver la plus ancienne table de multiplication décimale, elle nous vient de Chine.
Il y a 5 ans, l'université de Tsingua à Pékin a reçu en donation environ 2500 fragments de bandelettes en bambous. En mauvais état, ces fragments venaient certainement du pillage d'une tombe. L'ancienneté de ces artefacts a été révélée par une datation au carbone 14 : an 305 avant Jésus-Christ.
Chacune de ces bandelettes mesure entre 7 et 12 millimètres de large et environ 50 cm de haut. La plupart d'entre elles sont calligraphiées en ancien chinois avec de l'encre noire. Après avoir trié ces bandelettes, il s'est avéré que 21 d'entre elles présentaient des signes différents. Elles ne contenaient que des chiffres. Remises ensemble, elles représentent une belle table de multiplication. La première ligne et la dernière colonne contiennent 19 nombres : 0,5, les entiers de 1 à 9 et les multiples de 10 jusqu'à 90. Chaque cellule du tableau représente le résultat de la multiplication. Le 0,5 permet de trouver les moitiés des nombres, mais aussi les multiplications de tous les demis entre 0 et 100. Il suffit de décomposer l'opération. Par exemple : 12,5 x 3,5 peut être réécrit en (10+2+0,5) x (3+0,5), ce qui donne 6 multiplications que l'on peut retrouver dans la table de multiplication. Une somme permet de retrouver le résultat final.

Image : Université de Tsinghua
Vu l'époque à laquelle a été utilisée cette table et l'histoire de la Chine, les chercheurs pensent qu'elle servait à calculer les surfaces agricoles, les champs cultivés et pour en déduire les taxes dues. Par contre, on ne sait pas jusqu'à quel point les Chinois de l'époque utilisaient cette table. On peut très bien imaginer qu'ils l'utilisaient pour effectuer des divisions et pourquoi pas des calculs de racines carrées.
Précédemment, les tables de multiplication en base 10 les plus vieilles étaient, elles aussi, chinoises. Elles étaient de quelques 80 à 100 ans plus jeunes. Même plus récentes, elles étaient beaucoup moins bien organisées et permettaient des calculs beaucoup plus simples. Elles présentaient des phrases rappelant le résultat de chaque calcul.
La table récupérée par l'université de Tsingua a été écrite vers 300 avant Jésus-Christ, juste avant l'unification et le premier empereur chinois Qin Shi Huang. Il s'agit du même empereur qui ordonna de bruler les livres et de fermer les bibliothèques privées afin de remodeler la culture du pays...

Référence : JANE QIU, Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips, Nature, 7 janvier 2014. doi:10.1038/nature.2014.14482

Source : Sur-la-Toile

Un tableau périodique qui ne contient que les abréviations de noms de mathématiciens célèbres. En cliquant sur un élément, on obtient quelques informations sur le mathématicien en question. Amusant.

Lors d’une visite des réserves du Musée National Archéologique d’Athènes, en 1902, le mathématicien Spyridon Staïs cherchait des fragments d’une magnifique statue, l’éphèbe, récupérée avec des centaines d’autres objets dans l’épave d’un navire romain près des côtes de l’île d’Anticythère. Parmi ces fragments, Spyridon Staïs remarqua des bouts de roues dentées sur lesquels de toutes petites inscriptions apparaissaient sous les calcifications des sédiments marins.

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Ressuscitez Fermat !
Une statue pour un grand savant : Pierre Fermat

Le futur Espace Fermat, centre interactif dédié aux mathématiques et aux sciences, prévu pour 2016 à Beaumont de Lomagne (Tarn-et-Garonne, Midi-Pyrénées) et piloté par l’association Fermat Science, sollicite votre soutien pour poser la première pierre du projet. Cette première étape portera sur la refonte de la statue de Pierre Fermat.

Voir le site http://fr.ulule.com/fermat-science/

Le Google Doodle d'aujourd'hui est consacré à Leonhard Euler, né à Bâle le 15 avril 1707.

Le blog "Un jour, une brève" consacre également son billet du jour à celui que certains considèrent comme le plus grand mathématicien de tous les temps.

Je suis tombé sur ce texte en anglais de Ray Girvan il y a quelques jours. J'en traduis ici les meilleures parties.

Jusqu'à récemment, Udo de Aachen était connu dans les livres d'histoire comme un poète mineur, copiste et essayiste en théologie. Les dates de naissance et de mort de ce moine bénédictin ne sont même pas connues, mais il a probablement vécu entre 1200 et 1270 [1]. Une nouvelle étude de son travail a conduit à sa reconnaissance en tant que mathématicien exceptionnellement original et talentueux.

Bien que Udo lui-même soit peu connu, une de ses oeuvres nous est certainement plus familière. Il est en effet l'auteur d'un poème intitulé Fortuna Imperatrix Mundi, connu sous le nom de Carmina Burana [2]. Orchestré par le compositeur Carl Orff en 1937, le poème d'Udo très connu en tant qu'oeuvre chorale, O Fortuna, a été utilisé par de nombreux médias, de la musique du film "Excalibur" jusqu'à la publicité d'une lotion après-rasage.
La première trace des talents cachés d'Udo a été retrouvée par le mathématicien Bob Schipke, un professeur retraité spécilaliste d'analyse combinatoire. Lors d'une visite à la cathédrale d'Aachen, lieu de sépulture de Charlemagne, Schipke vu quelque chose qui l'intrigua. Dans une crèche minuscule illuminant un manuscrit du 13ème siècle, O Froehliche Weihnacht, il remarqua que l'étoile de Bethléem avait l'air bizarre. En l'examinant dans le détail, il vit que l'image dorée semblait être une représentation de l'ensemble de Mandelbrot, l'une des icônes de l'ère informatique. [3]
Découvert en 1976 par Benoît Mandelbrot, l'ensemble de Mandelbrot est la fractale la plus célèbre. Seul l'avènement des ordinateurs rapides rendit possible l'application des calculs répétitifs induits - du moins c'est ce que l'on pensait. [4]
"J'étais stupéfait", dit Schipke. "C'était comme trouver une photo de Bill Gates dans les Manuscrits de la Mer Morte. Le colophon [la page de titre] indiquait que le nom du copiste était Udo de Aachen, et j'ai voulu en savoir plus sur ce personnage."
Schipke visita la Bavière, où les poèmes Cantiones profanae (désormais les Carmina Burana), ont été découverts en 1837. Rédigé par des spécialistes et des moines errants durant le 13ème siècle, ils ont été rassemblés dans une anthologie dans le monastère bénédictin de Beuron, près de Munich, et Schipke a commencé sa recherche là-bas. Avec l'aide de l'historien Antje Eberhardt de l'Université de Munich, Schipke eut accès à des archives ecclésiastiques, où il a trouvé un document appelé Udolphus Codex. Ecrit en latin, le Codex portait la signature de Udo lui-même.
[..]
Dans un article de 1999, Schipke et Eberhardt parlent des découvertes d'Udo [5]. Le premier chapitre, Astragali, était supposé être un discours sur les méfaits des jeux de hasard. Il s'est avéré être les recherches d'Udo dans ce que nous appelons aujourd'hui la théorie des probabilités. Il a trouvé des règles simples pour ajouter et multiplier les probabilités et conçu ainsi des stratégies pour plusieurs jeux de cartes et de dés.
La deuxième partie, Fortuna et Orbis, décrit comment Udo a déterminé la valeur de pi en lançant des bâtons égaux sur une surface graduée, et en comptant la proportion de bâtons croisant les lignes dessinées sur le sol. C'est une anticipation de la technique des aiguilles de Buffon, nommé d'après le mathématicien du 18ème siècle [6]. Il s'agit d'une méthode très laborieuse, mais Udo réussit à obtenir une estimation respectable -, mais très chanceuse - de 866/275 (3.1418...). Il avait assez confiance en elle pour contester la valeur de pi=3 de la Bible [7] (je dis "chanceuse" parce que la méthode de Buffon converge très mal, et il est bien possible que Udo ait obtenu ce bon résultat en choisissant de s'arrêter judicieusement - peut-être influencé par le 3,1418 cité par son contemporain, Léonard de Pise, aussi connu sous le nom de Fibonacci).
Schipke poursuit: "Ce qui était intéressant à ce moment, c'est que nous avons relu les paroles de O Fortuna, et tout à coup ils prennent tout leur sens. Le verset deux - "Luck / like the moon / changeable in state / We are cast down / like straws upon a ploughed field / Our fates measuring / the eternal circle" - est très clairement une allusion à la méthode des aiguilles de Buffon". [8]
Mais le plus beau était à venir. Dans le dernier chapitre (le plus long), Salus, Schipke a découvert l'oeuvre la plus radicale. Udo avait, semblait-il, étudié l'ensemble de Mandelbrot, sept siècles avant Mandelbrot!
Initialement, l'objectif d'Udo était de concevoir une méthode pour déterminer qui irait au ciel. Il a supposé que l'âme de chaque personne était composée de parties indépendantes qu'il appelait "profanus" (profane) et "animi" (spirituel), et il a représenté ces deux parties par une paire de nombres. Puis il a élaboré des règles pour le dessin et la manipulation de ces paires de nombres. En fait, il a conçu les règles de l'arithmétique complexe, les parties spirituelles et profanes correspondant aux nombres réels et imaginaires des mathématiques modernes.
Dans le Salus, Udo décrit comment il a utilisé ces chiffres: "l'âme de chaque personne subit des essais à travers chacune des 70 années de la vie imparties, [englobant?] sa propre nature, et subit la diminution ou l'augmentation dans la stature par d'autres [qu'elle] rencontre, velléitaire entre le bien et le mal jusqu'à ce que [elle] soit jetée dans les ténèbres du dehors ou amenée pour toujours vers Dieu. "
Lorsque Schipke a lu la traduction, il l'a tout de suite prise pour ce qu'elle était: une description allégorique du processus itératif pour le calcul de Mandelbrot. En termes mathématiques, le système d'Udo était de commencer par un nombre complexe z, puis de l'itérer jusqu'à 70 fois par la règle z -> z*z+c, jusqu'à ce qu'il soit écarté ou pris dans une orbite. [4]
"On a tendance à prendre pour acquis, dit Schipke, "que le calcul de l'ensemble de Mandelbrot est trop compliqué à faire sans ordinateur. Ce que nous devons retenir, c'est la dévotion pure de la vie monastique. Cela a été un travail de foi, et Udo était prêt à travailler pendant des années. Le calcul de certains pixels lentement convergents doit prendre des semaines. "
Pourquoi le travail de ce mathématicien surdoué est passé inaperçu pendant si longtemps? Schipke montre en partie du doigt la spécialisation. "Quand le Codex a été déterré en 1879, seul un non-mathématicien a pu le voir, et il ne savait pas ce qu'il regardait. C'est une histoire assez commune.
"Mais il y avait aussi des raisons contemporaines pour que les connaissances d'Udo ne rentrent pas dans le courant dominant. Sa croyance fondamentale - à savoir que le salut et la damnation pourrait être déterminé à l'avance - était hérétique, et son usage des chiffres arabes a été vu comme de la magie noire. Et il y avait son désaccord avec Thelonius."
[...]
Udo a toujours interprété l'ensemble de Mandelbrot comme Dieu. Thelonius a soutenu le contraire: il représentait le diable. Des chiffres qui s'échappent vers l'infini, selon lui, étaient des âmes volantes libres vers le ciel, et ceux qui sont pris dans une orbite étaient tombés dans la fosse de l'Enfer. Comme de nombreuses collaborations théologiques, cela s'est terminé par un schisme.
Udo a noté que leur différend a mené tous les travaux à l'arrêt, et, que tous les deux ont été réprimandés par l'abbé pour en être venu aux mains dans le réfectoire. "Malheureusement, j'écris", explique Udo [9] à la dernière page du Codex Udolphus, "que, sous peine d'excommunication, je dois laisser mes dés et mes nombres de côté. J'ai jeté un oeil dans un royaume céleste de la complexité, et mon coeur est lourd que la porte soit fermée. "
[...]

Références

[1] "The Benedictine Order: a Historical Miscellany", edited by Rose M Wolanski, Springer-Verlag, 1965.
[2] "Carmina Burana, Frequently Asked Questions", by Charles Cave. http://www.classical.net/music/comp.lst/works/orff-cb/carmina.html
[3] "O froehliche Weihnacht", ms. circa 1250 AD, Aachener Dombibliothek, acquisition nr. GM801-237, Blatt 1a. Photograph by Bob Schipke.
[4] "Chaos: making a new science", James Gleick, Abacus Books, 1989.
Voir aussi the sci-fractals FAQ, maintained by Michael C. Taylor and Jean-Pierre Louvet. (ftp://rtfm.mit.edu/pub/usenet/news.answers/sci/fractals-faq).
[5] Schipke, R.J. and Eberhardt, A. "The forgotten genius of Udo von Aachen", Harvard Journal of Historical Mathematics, 32, 3 (March 1999), pp 34-77.
[6] "Buffon's Needle, an Analysis and Simulation" by George Reese. (http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html).
[7] II Chronicles, iv, 2: "Also he made a molten sea of ten cubits from brim to brim, round in compass ... and a line of thirty cubits did compass it round about" (Authorized King James Version).
[8] Lyrics, translated by William Mann, to Orff's "Carmina Burana (Cantiones profanae)", EMI recording SAN 162, 1965.
[9] Udo of Aachen, http://en.wikipedia.org/wiki/Udo_of_Aachen

© Article original en anglais : Ray Girvan (ray@raygirvan.co.uk) 1.4.1999.