Le blog-notes mathématique du coyote

La Sagrada Famillia, à Barcelone, a deux portails achevés : celui de la Nativité et celui de la Passion. Ce dernier est orné par des sculptures de Josep Subirachs : Judas qui donne le baiser du traître à Jésus. A côté, il y a un carré numérique, qui est un carré magique de somme 33 (durée de la vie du Christ) obtenue non seulement par les 10 lignes, colonnes et diagonales, mais par en tout 310 regroupements de cases, sur les 1820 possibles. Plus précisément, on peut obtenir 33 de 17 façons en additionnant 3 cases, de 88 façons avec 4 cases, de 131 manières avec 5 cases, de 66 façons avec 6 cases et de 8 manières avec 7 cases. Il est impossible d'obtenir une somme de 33 avec un autre nombre de cases.
Il semblerait que Subirachs est parti du célèbre carré magique de la mélancolie de Dürer, tourné de 180°, auquel il a retranché 1 aux 4 nombres indiqués en gras :

1  14  15  4
12  7   6  9
8  11  10  5
13  2  3  16

Voici le fichier Mathematica qui a calculé toutes les combinaisons.

Pour en savoir plus : Article About The Subirachs Magic Square by George Zimmerman

Mathématique

Dans un parallélépipède rectangle se déplaçant le long d'une ligne intégrale solution de l'équation différentielle du second ordre y" + TCRP(x)y' + S = 84, deux homoïdes (dont l'un seulement, l'homoïde A, présente une partie cylindrique de longueur L > N et dont deux sinusoïdes dont le rapport des périodes = π/2 entourent la calotte sphérique) ne peuvent présenter de points de contact de la base sans avoir également un point de rebroussement. L'oscillation de deux homoïdes tangentiellement à la trajectoire ci-dessus entraîne le déplacement infinitésimal de toute sphère de rayon infinitésimal tangente à une ligne de longueur l < L perpendiculaire à la partie supérieure de la médiane du plastron de l'homoïde A.

Ensembliste

Dans l'autobus S considérons l'ensemble A des voyageurs assis et l'ensemble D des voyageurs debout. A un certain arrêt, se trouve l'ensemble P des personnes qui attendent. Soit C l'ensemble des voyageurs qui montent; c'est un sous-ensemble de P et il est lui-même l'union de C' l'ensemble des voyageurs qui restent sur la plate-forme et de C" l'ensemble de ceux qui vont s'asseoir. Démontrer que l'ensemble C" est vide. Z étant l'ensemble des zazous et {x} l'intersection de Z et de C', réduite à un seul élément. A la suite de la surjection des pieds de x sur ceux de y (élément quelconque de C' différent de x), il se produit un ensemble M de mots prononcés par l'élément x. L'ensemble C" étant devenu non vide, démontrer qu'il se compose de l'unique élément x.
Soit maintenant P l'ensemble des piétons se trouvant devant la gare Saint-Lazare, {x,x'} l'intersection de Z et de P, B l'ensemble des boutons du pardessus de x, B' l'ensemble des emplacements possibles des dits boutons selon x', démontrer que l'injection de B dans B' n'est pas une bijection.

Géométrique

Dans un parallélépipède rectangle se déplaçant le long d'une ligne droite d'équation 84x + S = y, un homoïde A présentant une calotte sphérique entourée de deux sinusoïdes, au-dessus d'une partie cylindrique de longueur l > n, présente un point de contact avec un homoïde trivial B. Démontrer que ce point de contact est un point de rebroussement. Si l'homoïde A rencontre un homoïde homologue C, alors le point de contact est un disque de rayon r < l. Déterminer la hauteur h de ce point de contact par rapport à l'axe vertical de l'homoïde A.

Raymond Queneau, Exercices de style

George W. Hart est un sculpteur spécialisé dans la construction d'objets mathématiques, la plupart du temps enchevêtrés. Son site contient plusieurs centaines de pages. A découvrir.

Image vue sur Flickr, dans l'album Doyle Spirals and other circle/sphere packings.

Bathsheba Grossman est une artiste qui explore comment les maths et la sculpture peuvent se rencontrer. Il est possible d'acheter ses oeuvres via son site.

J'avais déjà écrit un billet sur Jos Leys le 9 avril 2006, J'en reparle aujourd'hui, car je suis retourné voir son site Mathematical Imagery et il a beaucoup évolué. C'est un plaisir pour les yeux et l'esprit. A (re)voir absolument.

Steve Turnidge a fait une vidéo qui présente une sélection du travail de Jos Leys :

La loi des séries. Alors que je disais mercredi qu'il était rare qu'une chanson contienne des termes mathématiques, voilà la vidéo que je vois le lendemain sur plusieurs blogs de maths :

Je parlais hier des diagrammes de Voronoi. Voici une étagère Voronoi (série limitée) du designer Marc Newson.

Il est rare d'entendre une chanson dont les paroles comportent des termes mathématiques. Hier, j'écoutais la radio d'une oreille distraite quand j'ai entendu cela :

Un plus un égale un (de l'album Cheyenne song)

Paroles: Gaëtane Abrial - André Manoukian
Musique: André Manoukian
Durée: 4.02

Ecouter sur Spotify

Le chiffre 3, papa, maman et moi
Le chiffre 2, moi et mon amoureux
Le chiffre 7, c'est l' plus beau il se la pète
Le chiffre 9, c'est le jour où je suis sortie de l'oeuf

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Le chiffre 4, j'aime pas j' veux pas débattre
Le chiffre 5, Channel numéro 5
Le chiffre 8, il est mystique
Le chiffre 6, (666) est plein de maléfices

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma p'tite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Quand l'espace temps s'est courbé
Nos parallèles se sont croisées
Depuis ton problème c'est que je t'aime pour l'éternité,
Nos deux figures sont symétriques,
Il a de l'allure notre algorithme
Et nos courbes exponentielles s'emmêlent jusqu'au septième ciel

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Mon théorème, mon Pythagore
Je t'aime plus fort, que le nombre d'or
Tu es mon nombre entier, je serai ta moitié
Et nous deux au carré, on fera un beau bébé

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique

Car 1+1=1, c'est mon Amérique
Ma petite cuisine quantique
1+1=1, c'est numérologique
Mais pas de cabalistique non non non

Mais 1+1=1, c'est mon arithmétique
Ma petite cuisine magique
1+1=1, c'est numérologique
Si tu m' quittes j'te décortique.

Le lien entre Musique et Mathématiques a fasciné des siècles d'érudits. Pythagore découvrait il y a plus de 2000 ans que les intervalles musicaux plaisants pouvaient être mis en relation avec des fractions simples.

Aujourd'hui, Clifton Callender de la Florida State University, Ian Quinn de Yale et Dmitri Tymoczko de Princeton, trois professeurs de musique présentent une nouvelle manière d'analyser et de classifier la musique à partir des mathématiques. Le trio propose une méthode appelée "Théorie géométrique de la musique" qui regroupe par "famille" les séquences de notes. Ils ont mis au point une méthode associant ces familles avec des structures mathématiques formées de points dans des espaces géométriques complexes

Différentes façons de classifier la musique produisent différents espaces géométriques et reflètent les différentes manières dont les musiciens ont compris la musique au cours des siècles. Ce procédé permettra, espèrent-ils, aux chercheurs d'analyser et comprendre la musique plus profondément. Leurs travaux représentent un point de départ majeur dans la quantification de la musique selon Rachel Wells Hall du Department of Mathematics and Computer Science de la St Joseph's University de Philadelphie. Elle ajoute que cette avancée "est marquante de par le large spectre de ses applications musicales et compte tenu de la profondeur de son contenu mathématique".

Cette méthode promet de fournir de puissants outils pour la conceptualisation de la musique permettant ainsi à de nouveaux projets de voir le jour. "On pourrait créer de nouveaux types d'instruments de musique, de nouveau jouets, de nouveaux moyens de visualisation de la musique, de nouveaux accords musicaux ou de nouveaux moyens d'apprentissage de la musique et d'autres conséquences pratiques pourraient suivre" affirme Tymoczko. Sa plus grande satisfaction étant de pouvoir observer la structure logique liant divers concepts musicaux différents.

"Nos méthodes ne sont pas faîtes pour reconnaître Aerosmith des Rolling Stones mais elles permettent de visualiser les différences entre John Lennon et Paul McCartney. Et vous pourrez voir ce qui lie la musique classique au rock et ce qui la différencie de la musique atonale" conclue Tymoczko.

Source : http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/54348.htm

Adrian J.F. Leatherland produit des images à partir des nombres premiers, afin de visualiser leur distribution. Elles sont visibles sur son site Pulchritudinous primes. Il obtient des images qui ressemblent à des images astronomiques ou à un virus. Il a aussi créé une île qu'il a nommée Primes Island.

Hier, en allant fébrilement acheter le dernier Blake et Mortimer (pas le meilleur, même si la fin de l'album est tout à fait surprenante), j'ai remarqué cette couverture de BD :

Belle mise en abyme, mais l'exemple le plus connu reste La vache qui rit :

A quoi ressemblerait la forme qui, reflétée sur une sphère, donnerait un cheval ? Voici :

On pourra trouver d'autres images et une applet permettant de les créer sur Space Symmetry Structure.

Qui est Mike Williams ? Je ne sais pas vraiment. Un mathématicien peut-être, mais un artiste sûrement. On peut voir sur son site de merveilleuses oeuvres fractales, mais aussi plein de surfaces obtenues avec la commande isosurface du logiciel POV-Ray 3.5. A voir en particulier le Mathematical Zoo.

Inspiré des oeuvres d'Escher et de Vasarely, le travail de Dominique Ribault s'appuie sur des théories mathématiques alliant la topologie à la théorie des groupes. Son site www.polytess.info est consacré aux pavages réguliers du plan ainsi qu’à de nombreuses applications aux polygones, spirales logarithmiques, cylindres, sphères, tores et nœuds.

Remarque
La classification algébrique donne 17 groupes de pavages. La classification topologique donne 19 familles car les groupes PG et PGG donnent chacun 2 types de pavés. Concrètement, avec les 2 pavés de type PG, on ne transformera pas par déformation continue le chameau en femme (de même pour le groupe PGG avec la femme et le zèbre).
Introduction à cette classification sur http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/pavages.htm

Père de la géométrie fractale, le mathématicien franco-américain Benoit Mandelbrot soutient depuis deux ans le Benoit Mandelbrot Fractal Art Contest, un concours international d’art fractal. Les gagnants de l’édition 2007 ont été désignés en début d’année.
On considère généralement que c’est l’ensemble de Mandelbrot qui fit connaître cette discipline au grand public au milieu des années 80. Par définition, l’art fractal consiste à générer, par ordinateur, une image par un calcul fractal (ou un processus itératif proche). Si tout le monde peut créer une image fractale, le résultat dépend ensuite, comme dans tout art, du savoir-faire et de la créativité de son auteur. Et on s’en rend facilement compte en consultant la liste de toutes les oeuvres qui ont participé au concours.

Voir aussi :

• l'édition 2006
• l'édition 2002
• l'édition 2000
• l'édition 1999
• l'édition 1998
• l'édition 1997

Aurélie Nemous (1910-2005) étudie à l'École du Louvre, est l'élève notamment de Fernand Léger et André Lhote, prend le chemin de l'abstraction géométrique, privilégiant les lignes, les angles droits, les surfaces monochromatiques carrées ou rectangulaires jusqu'à un certain minimalisme avec des œuvres sur le tard en noir et blanc. A partir de 1965, elle privilégie le carré qu’elle exploite de façon multiple. La géométrisation de l'espace et la rectitude deviennent des composantes essentielles de son art. Ses oeuvres de la fin des années 80 se détachent totalement de la forme pour ne plus privilégier que la couleur dans un carré.

Générez vous-mêmes des tableaux à la façon d'Aurélie Nemours.

Les Ambassadeurs français à la cour d'Angleterre
Hans HOLBEIN le Jeune (c.1497 - 1543)
Ce tableau recèle de nombreux instruments et ouvrages mathématiques, sans compter la célèbre anamorphose de la tête de mort (au premier plan). Il est analysé en détails sur la page intitulée Les ambassadeurs, tentative d'épuisement d'un tableau.

LES MESUREURS, un tableau du XVIIe siècle, attribué à Hendrik van Balen

Cette image est tiré du site Views Through a Mathematical Microscope of Some Three-Dimensional Oddities. Allez-y pour en prendre plein les yeux.
Encore une preuve que les maths et l'art peuvent faire bon ménage.