Le blog-notes mathématique du coyote

Le Spirographe, marque déposée par Hasbro, est un instrument de dessin permettant de tracer des figures géométriques, des courbes mathématiques techniquement connues sous le nom d'hypotrochoïdes. Le mot est également utilisé dans des logiciels qui montrent des courbes semblables.
Le Spirographe a été inventé par Denys Fisher, qui l'a présenté en 1965 au Nuremberg International Toy Fair. Les droits de distribution ont été acquis par Kenner, qui l'introduit sur le marché américain en 1966.
Le Spirographe est composé de différentes roues et d'anneaux dentés en plastique transparent. Les roues sont les pièces mobiles, et se positionnent dans les anneaux, pièces fixes, de manière à pouvoir y tourner grâce au système d'engrenages. Une feuille de papier est fixée sur le plateau à l'aide de goupilles en plastique. Le plateau est lui même composé d'une bordure dentée, sur laquelle on peut fixer une règle ou directement les anneaux dentés. Il suffit ensuite de placer une roue dentée dans l'anneau, et une pointe de stylo à bille dans l'un de ses trous pour pouvoir tracer une courbe sur le papier. Le stylo est utilisé à la fois pour dessiner et pour fournir la force motrice.


Créé par Anu Garg.

Chaoscope est un logiciel gratuit pour Windows qui permet de dessiner des attracteurs étranges en 3D. Les images obtenues peuvent être assimilées à de l'art. Voici un exemple :

J'avais déjà présenté dans un billet le tableau où l'on voyait Luca Pacioli. Voici la version timbre.

Margarita Philosophica - 1508 - Gregor Reisch
Cette deuxième gravure extraite de Margarita Philosophica montre la Géométrie à travers ses différentes domaines d'applications (astronomie, architecture, mensurations, ...).

Mike Keith aime jouer avec les mots et les mathématiques. En cela il rejoint le mouvement Oulipo, qui a pour credo l'écriture sous contraintes. Le poème "Near A Raven" est une réécriture du poème d'Edgar Allan Poe "A Raven". Si vous regardez le nombre de lettres de chaque mot et que vous les mettez bout à bout, vous obtiendrez les 740 premières décimales du nombre pi (en posant que 10 = 0).

Poe, E.
Near a Raven

Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap - the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor.
"This", I whispered quietly, "I ignore".

Perfectly, the intellect remembers: the ghostly fires, a glittering ember.
Inflamed by lightning's outbursts, windows cast penumbras upon this floor.
Sorrowful, as one mistreated, unhappy thoughts I heeded:
That inimitable lesson in elegance - Lenore -
Is delighting, exciting...nevermore.

Ominously, curtains parted (my serenity outsmarted),
And fear overcame my being - the fear of "forevermore".
Fearful foreboding abided, selfish sentiment confided,
As I said, "Methinks mysterious traveler knocks afore.
A man is visiting, of age threescore."

Taking little time, briskly addressing something: "Sir," (robustly)
"Tell what source originates clamorous noise afore?
Disturbing sleep unkindly, is it you a-tapping, so slyly?
Why, devil incarnate!--" Here completely unveiled I my antedoor--
Just darkness, I ascertained - nothing more.

While surrounded by darkness then, I persevered to clearly comprehend.
I perceived the weirdest dream...of everlasting "nevermores".
Quite, quite, quick nocturnal doubts fled - such relief! - as my intellect said,
(Desiring, imagining still) that perchance the apparition was uttering a whispered "Lenore".
This only, as evermore.

Silently, I reinforced, remaining anxious, quite scared, afraid,
While intrusive tap did then come thrice - O, so stronger than sounded afore.
"Surely" (said silently) "it was the banging, clanging window lattice."
Glancing out, I quaked, upset by horrors hereinbefore,
Perceiving: a "nevermore".

Completely disturbed, I said, "Utter, please, what prevails ahead.
Repose, relief, cessation, or but more dreary 'nevermores'?"
The bird intruded thence - O, irritation ever since! -
Then sat on Pallas' pallid bust, watching me (I sat not, therefore),
And stated "nevermores".

Bemused by raven's dissonance, my soul exclaimed, "I seek intelligence;
Explain thy purpose, or soon cease intoning forlorn 'nevermores'!"
"Nevermores", winged corvus proclaimed - thusly was a raven named?
Actually maintain a surname, upon Pluvious seashore?
I heard an oppressive "nevermore".

My sentiments extremely pained, to perceive an utterance so plain,
Most interested, mystified, a meaning I hoped for.
"Surely," said the raven's watcher, "separate discourse is wiser.
Therefore, liberation I'll obtain, retreating heretofore -
Eliminating all the 'nevermores' ".

Still, the detestable raven just remained, unmoving, on sculptured bust.
Always saying "never" (by a red chamber's door).
A poor, tender heartache maven - a sorrowful bird - a raven!
O, I wished thoroughly, forthwith, that he'd fly heretofore.
Still sitting, he recited "nevermores".

The raven's dirge induced alarm - "nevermore" quite wearisome.
I meditated: "Might its utterances summarize of a calamity before?"
O, a sadness was manifest - a sorrowful cry of unrest;
"O," I thought sincerely, "it's a melancholy great - furthermore,
Removing doubt, this explains 'nevermores' ".

Seizing just that moment to sit - closely, carefully, advancing beside it,
Sinking down, intrigued, where velvet cushion lay afore.
A creature, midnight-black, watched there - it studied my soul, unawares.
Wherefore, explanations my insight entreated for.
Silently, I pondered the "nevermores".

"Disentangle, nefarious bird! Disengage - I am disturbed!"
Intently its eye burned, raising the cry within my core.
"That delectable Lenore - whose velvet pillow this was, heretofore,
Departed thence, unsettling my consciousness therefore.
She's returning - that maiden - aye, nevermore."

Since, to me, that thought was madness, I renounced continuing sadness.
Continuing on, I soundly, adamantly forswore:
"Wretch," (addressing blackbird only) "fly swiftly - emancipate me!"
"Respite, respite, detestable raven - and discharge me, I implore!"
A ghostly answer of: "nevermore".

" 'Tis a prophet? Wraith? Strange devil? Or the ultimate evil?"
"Answer, tempter-sent creature!", I inquired, like before.
"Forlorn, though firmly undaunted, with 'nevermores' quite indoctrinated,
Is everything depressing, generating great sorrow evermore?
I am subdued!", I then swore.

In answer, the raven turned - relentless distress it spurned.
"Comfort, surcease, quiet, silence!" - pleaded I for.
"Will my (abusive raven!) sorrows persist unabated?
Nevermore Lenore respondeth?", adamantly I encored.
The appeal was ignored.

"O, satanic inferno's denizen -- go!", I said boldly, standing then.
"Take henceforth loathsome "nevermores" - O, to an ugly Plutonian shore!
Let nary one expression, O bird, remain still here, replacing mirth.
Promptly leave and retreat!", I resolutely swore.
Blackbird's riposte: "nevermore".

So he sitteth, observing always, perching ominously on these doorways.
Squatting on the stony bust so untroubled, O therefore.
Suffering stark raven's conversings, so I am condemned, subserving,
To a nightmare cursed, containing miseries galore.
Thus henceforth, I'll rise (from a darkness, a grave) -- nevermore!

Si vous voulez vérifier :
pi = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 ...

George W. Hart est un artiste qui s'est spécialisé dans les sculptures géométriques.

Vous connaissez peut-être cette boutade : "Cette feuille est tellement mince qu'elle n'a plus qu'un seul côté". Eh bien, il existe bel et bien un objet qui n'a qu'un seul côté, c'est le ruban de Möbius. Il est facile à construire. Prenez une bande de papier et tenez-la aux extrémités. Tournez votre main droite (ou gauche) d'un demi-tour et collez les deux extrémités. C'est fait. Vous avez obtenu la figure dessinée sur le timbre brésilien ci-contre.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), mon peintre préféré, a utilisé plusieurs fois le ruban de Möbius dans ses tableaux. Le plus célèbre est sans doute celui-ci :

RUBAN DE MÖBIUS II (1963)
Si vous suivez les fourmis, vous constaterez qu'elles sont bien toutes du même côté...

A voir : Le ruban de Möbius

MARGARITA PHILOSOPHICA - 1508 - Gregor Reisch
Cette gravure met en scène Boethius (à gauche), Pythagore (à droite) et Dame Arithmétique. L'illustration montre que l'algoriste (Boethius qui fait un calcul en utilisant des nombres Indou-Arabes) triomphe de l'abaciste (Pythagore qui fait une somme en utilisant un abaque).

Jos Leys est un artiste anversois qui utilise le logiciel Ultra Fractal pour transformer des concepts mathématiques en oeuvres d'art, par exemple les pavages de Voronoi, les empilements de disques, etc. Dernièrement, il a créé des oeuvres en hommage à Escher, mon artiste préféré. Un émerveillement pour les yeux, même si on n'aime pas les mathématiques.

A lire : Les beautés mathématiques de Leys, par Jean-Paul Delahaye, qui a également écrit un article sur le même sujet dans la revue Pour la Science no 342, avril 2006.

Intéressante gravure de William Hogarth (1697-1764), où les perspectives sont complètement faussées: la femme du balcon allume la pipe d'un promeneur, les cannes à pêche se croisent, etc.

Cette gravure parut en frontispice de la Méthode de Perspective écrite par le Docteur Brook Taylor en 1754. L'ironie est qu'elle n'est qu'un tissu d'impossibilités.

A voir: WILLIAM HOGARTH, False perspective, gravure sur cuivre, 1754.

J.P. Louvet nous propose de découvrir les fractales. Un peu de théorie, mais surtout un magnifique album dont l'image ci-dessous est tirée. Quand les mathématiques rejoignent l'art...

Entrez dans Maths Museum, un musée virtuel où les objets et les oeuvres exposés ont un rapport direct avec les mathématiques ou la physique.

Mélancolie I, Albrecht Dürer, 1514
Extrait d'une analyse du blog Par les mots :

(…) Progressivement, DÜRER se détachera de la peinture pour s’intéresser au procédé diabolique de la gravure : technique lui permettant de diffuser l’œuvre d’Art mais surtout de contrarier l’œuvre unique. C’est à 43 ans qu’il grave sur cuivre : MELENCOLIA I, production au premier abord austère, mystérieuse, énigmatique, presque initiatique par la charge de ses symboles. DÜRER est passionné d’alchimie.
Mon œil se pose sur le protagoniste au regard fixe et intense, se tenant la tête de la main gauche d’un air désabusé ; homme, femme, ange ? Me voici face au visage de la mélancolie, tristesse vague, mal doux qui touche tout le monde... Mon regard se perd, ne sait où se poser.
L’œuvre m’impose une analyse minutieuse de chaque objet, seul moyen de saisir le message de l’artiste. Les objets évoquent le métier d’architecte, la menuiserie ou la géométrie, signifiant l’art et la science : ce sont des instruments qui permettent de mesurer, de tracer, de polir des surfaces mais aussi de créer ce que se représente la faculté imaginative. Cette mise en relation de la mélancolie et de la géométrie me renvoie à Saturne, planète qui les gouverne toutes deux et ce fait rend compte aussi de leur fusion ; l’une dotée d’une âme, l’autre d’un esprit. « Melencolia I » serait donc une première phase. Celle de l’introspection et de la pensée sans activité. Y aurait-il alors une ascension qui passerait par une mélancolie II ? L’imaginaire qui côtoierait le rationnel pour aboutir à une construction mentale ?
Les attributs sont particuliers : un compas pointant sur le nœud emblématique de la sexualité. Est-ce pour m’induire en erreur ou bien me dévoiler le cœur du problème ? Pourtant, le compas, image de la circonférence me laisse aussi supposer que la Mélancolie est un cercle vicieux d’où l’on ne sort pas !
À ses pieds, la Mélancolie dispose d’instruments permettant d’envisager les questions essentielles : le rabot et la scie, symbole de la perfection, les clefs signifiant la sagesse, les clous pour la passion... Mais aussi la meule traçant le destin de chacun, le marteau pour construire sa vie, la lampe à huile génitrice de vie et le chien osseux image de la mort.
L’échelle ne va nulle part, ni ne commence d’ailleurs. Et la perspective annonce qu’il n’y a pas qu’un seul chemin de vie… En revanche, la mélancolie est stable, posée devant le carré où l’échelle du temps est appuyée.
De la pleine maturité psychologique de l’auteur émergent les questions fondamentales.
Foisonnent sur ce carré de multiples objets, déterminant l’état même de la mélancolie : balance entre-deux, sablier à égalité, (en « milieu de vie », moment propice à la mélancolie ?), comme l’indication d’une obsession à voir le temps s’écouler, le temps paraît suspendu « temps entre les temps » ; cloche dans l’attente d’une éventuelle agitation et qui n’arrive pas à saisir autre chose qu’un éternel présent. (...)

Voici un agrandissement du carré magique situé au-dessus de l'ange. Remarquons déjà que l'année 1514 se retrouve dans les deux cases centrales de la dernière ligne du carré. Plus que magique, ce carré est "diabolique" (la même constante magique peut être trouvée non seulement dans les lignes, les colonnes et les diagonales, mais aussi dans une variété de configurations régulières et géométriques):

Les quatre coins donnent 34.
Les quatre cases au centre aussi.
Idem pour 2, 3, 15, 14
Si on partage le carré 4x4 en quatre carrés 2x2, on trouve encore 34: 34 = 16+3+5+10 = 2+13+11+8 = 9+6+4+15 = 7+12+14+1
On trouve aussi 9+15+2+8 = 34
etc.

A lire aussi: Christine Salvadé, Le blues du scientifique selon Albrecht Dürer, Le Temps, 23 juillet 2005

Luca Pacioli (1445-1514) est la figure centrale de cette peinture de (probablement) Jacopo de' Barbari* (1495). La toile est signée "Jaco. Bar".
Pacioli, un frère franciscain, se tient à une table couverte d'outils mathématiques (équerre, compas, modèle de dodécaèdre, etc.) et illustre un théorème d'Euclide, tout en examinant un rhombicuboctaèdre (polyèdre archimédien composé de 26 faces: 18 carrés et 8 triangles équilatéraux) à moitié rempli d'eau. Il est possible que ce polyèdre ait été rajouté après coup par Léonard de Vinci, seul peintre de la Renaissance capable de cette prouesse, et qui était très ami avec Pacioli. Ce solide correspond à la planche XXXV du De Divina Proportione, écrit par Pacioli, illustré par De Vinci et publié à Venise en 1509.
Le gros livre sur lequel repose un dodécaère serait la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, traité encyclopédique des mathématiques rédigé par Pacioli en italien (et non en latin) et publié à Venise en 1494.
Le livre ouvert sur la table est une traduction latine des Eléments d'Euclide, imprimé en 1482 à Venise par Erhald Ratdolt. Nick MacKinnon a même pu identifier la page et le théorème que Pacioli indique: "le carré du côté de l'angle équilatéral est le triple du carré du rayon de son cercle circonscrit". Ceci relie le livre ouvert à la figure de l'ardoise.
Le personnage à gauche de Pacioli serait selon certains Guidobaldo, duc d'Urbino, car le tableau lui est dédié. Cependant, il ne lui ressemble pas. D'autres experts soupçonnent un auto-portrait de l'auteur (M. Davis) ou le portait d'Albrecht Dürer (N. MacKinnon). La rencontre entre Dürer et Pacioli n'est pas démontrée, mais on sait que Dürer était à Venise pendant l'hiver 1494-1495. De plus, Pacioli était aussi à Venise pour la parution de la Summa.
Le Nombre d'Or affirme sa présence dans ce tableau. En effet on peut observer que, si on nomme A et B les extrémités du segment déterminé par le bas du livre ouvert et M le point défini par le pouce gauche de Pacioli, on a : MB/MA=1,6.

A lire: "The portrait of Fra Luca Pacioli" par Nick Mackinnon, The Mathematical Gazette, 77 (1993) pp. 130-219.