Le blog-notes mathématique du coyote

S'il y a bien un outil que je déteste utiliser au tableau, c'est le compas géant. L'idéal serait de pouvoir dessiner d'aussi beaux cercles à main levée que ce prof nommé Alexander Overwijk :

Les femmes doutent facilement de leurs habiletés mathématiques
Stephanie Levitz, Presse canadienne, Vancouver

Il suffit d'expliquer à des femmes qu'il est dans leur nature d'être moins douées en mathématiques pour influencer négativement leur performance dans ce domaine, ont découvert des chercheurs de l'université de la Colombie-Britannique.
Les scientifiques voulaient vérifier si la nature de l'explication fournie aux femmes concernant leur inhabileté «stéréotypique» en mathématiques allait avoir un impact sur leur performance réelle. Il s'agit de la «menace du stéréotype», un concept selon lequel le rappel de croyances associées depuis longtemps à un groupe incite les membres de ce groupe à se conformer au stéréotype.
Sur une période de trois ans, les chercheurs de l'université de la Colombie-Britannique ont demandé à 135 femmes de se soumettre à des tests similaires à ceux utilisés pour l'admission aux études supérieures. Chaque femme devait notamment compléter une section mathématique complexe, mais seulement après avoir pris connaissance d'un article concernant les différences entre les sexes en mathématiques.
Des quatre articles fictifs, le premier faisait valoir qu'il n'existe aucune différence, le second que la différence est d'origine génétique, et le troisième que la différence découle de la manière dont les mathématiques sont enseignées aux femmes à l'école primaire. Le dernier traitait de la place des femmes dans le monde des arts, puisque les scientifiques croient depuis un moment que le simple fait de rappeler à une femme qu'elle est une femme aura un impact négatif sur sa performance.
Les femmes à qui il avait été expliqué que leurs expériences antérieures étaient responsables de leurs habiletés mathématiques ont obtenu deux fois plus de réponses exactes que les femmes à qui il avait été expliqué que leur code génétique était à blâmer. Les femmes à qui on avait rappelé qu'elles étaient des femmes ont aussi moins bien réussi que celles à qui on avait expliqué qu'il n'y avait aucune différence.
«J'ai été surpris de l'importance de la réduction de la menace (du stéréotype) chez les femmes à qui on avait souligné l'importance des expériences antérieures», a expliqué l'auteur de l'étude, l'étudiant au doctorat Ilan Dar-Nimrod.
La simple mention qu'il puisse exister une différence entre les hommes et les femmes en mathématiques peut se révéler explosive. L'été dernier, le président de l'université Harvard, Lawrence Summers, avait été contraint de démissionner après avoir déclaré que les femmes sont sous-représentées dans le domaine des sciences parce qu'elles n'ont pas les capacités innées pour y exceller.
D'autres chercheurs croient que les résultats de cette étude illustrent bien la complexité de l'association entre les gènes et un comportement donné.

Source : Cyberpresse

L'expression « nombre premier illégal » pourrait être utilisée pour désigner un nombre premier qui contient des informations qu'il est interdit de détenir ou de distribuer par la loi. Le premier nombre premier illégal fut généré en mars 2001 par Phil Carmody. Sa représentation binaire correspond aux données compressées du code source en langage C d'un programme informatique implémentant l'algorithme de déchiffrement DeCSS (CSS - Content Scrambling System - est un algorithme utilisé pour crypter les DVD; DeCSS est l'algorithme permettant de les décrypter).
Or, d'après le Digital Millennium Copyright Act, il est interdit de détenir ou distribuer de tels programmes, du moins aux États-Unis. D'où la question: un juge peut-il interdire un nombre premier ?

A lire :

• DVD descrambler encoded in ‘illegal’ prime number
• World's first DeCSS executable prime number

Quelques moyens mnémotechniques pour se rappeler certaines constantes mathématiques:

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!
Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut sonder la valeur ?
Pour moi, ton problème eut de sérieux avantages :
pi = 3,141592653589793238462643383279…

Les trois journées de 1830 ont renversé 89 : 1/pi = 0,3183098…

Tu aideras à rappeler ta quantité à beaucoup de docteurs amis : e = 2,7182818284...

Gamma pourras retenir, si à Euler penses chaque fois. Constante immortelle d'Euler, vas-tu toujours rester timidement cachée ? : G = 0,5772156649015328606...

O nombre d'élégance ! Toi, toi, grandiose, étonnant : 1,61803398, le nombre d'or.

On le voit, tout cela est un peu décevant. A part pour la star pi, il existe peu de moyens mnémotechniques. Et si on s'amusait à en créer ?

A voir: le pi-club donne des moyens mnémotechniques en langue russe...

C'est la saison des prix Nobel... et des Ig Nobel. Le Ig Nobel Prize rend chaque année honneur aux gens dont les accomplissements « ne peuvent pas ou ne doivent pas être reproduits » (la reproductibilité étant un des critères de la méthode scientifique). Dix prix sont donnés chaque année à quelques personnes qui ont fait des choses remarquablement bêtes – parfois admirables, mais parfois pas. Les prix sont présentés à l'université Harvard avec le patronage de la revue d'humour en science Annals of Improbable Research. Les premiers prix Ig Nobel ont été remis en 1991.
Voici le palmarès de cette année :

• Ig Nobel d’ornithologie: pourquoi les piverts n’attrapent pas le mal de tête, par Ivan Schwab, de l’Université de Californie (2002);
• Ig Nobel de médecine: le hoquet chronique interrompu par un massage rectal, par Francis Fesmire, de l’Université du Tennessee (1990);
• Ig Nobel de nutrition: les coquerelles font la fine bouche, par une équipe de biologistes koweitiens (1997);
• Ig Nobel d’acoustique: pourquoi les gens n’aiment pas le son des ongles sur un tableau, par une équipe de trois universités américaines (1986);
• Ig Nobel de mathématiques: combien de photographies d’un mariage faut-il prendre pour s’assurer que tout le monde ait les yeux ouvert sur au moins une photo, par Nic Svenson, de l’Organisation de recherche scientifique du Commenwealth australien (voir l'article en question);
• Ig Nobel de physique: comment couper le spaghetti, par Basile Audoly et Sebastien Neukirch, de l’Université Pierre et Marie Curie (2005);
• Ig Nobel de chimie: l’effet de la température sur le fromage cheddar à des vitesses plus rapides que le son (1999);
• Ig Nobel de biologie: la mouche anophèle, responsable de la transmission de la malaria, est également attirée par l’odeur des pieds humains que par celle d’un hamburger au fromage;
• Ig Nobel de la paix: Howard Stapleton, de la firme galloise Merthyr Tydfil, pour son dispositif-à-repousser-les-adolescents (il émet un son audible seulement par eux);
• Ig Nobel de littérature: pourquoi l’usage des mots les plus longs et les plus compliqués est inutile, par Daniel Oppenheimer, de l’Université Princeton (2006).

A lire :

• Winners of the Ig® Nobel Prize
• Wikipedia : Prix Ig Nobel
• Nature.com : Ig Nobel diary
• Futura Sciences : Ig Nobel 2006: des prix Nobel qui sentent le fromage

Si s(n) désigne la somme des diviseurs de n, sans n lui-même, la suite aliquote de n est la suite des itérés s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), ... Par exemple, avec n=8, s(8)=1+2+4=7, s(s(8))=s(7)=1.
Une conjecture dont l'origine remonte à Catalan en 1888 dit que la suite aboutit

• soit à un nombre premier (et donc 1 après ce nombre premier)
• soit à un nombre parfait n tel que s(n)=n (exemples : 6, 28, ...)
• soit à une paire de nombres sociables m, n tels que s(m)=n et s(n)=m (exemple : 220 et 284)

A voir : Suites aliquotes, Aliquot sequences

Mercredi 4 octobre 2006, TOKYO (AFP) - Un Japonais de 60 ans a battu son propre record du monde de mémorisation du nombre pi en récitant publiquement pendant plus de 16 heures 100.000 décimales, ont annoncé les organisateurs de l'événement.
Le nombre pi, qui comporte un nombre infini de décimales (3,1415926535...) est le rapport constant entre le périmètre d'un cercle et son diamètre.
Akira Haraguchi était déjà détenteur du record mondial en la matière, qui était de 83.431 décimales. Sa nouvelle récitation a commencé à 09H00 mardi matin et s'est achevée, sans aucune erreur, la nuit suivante vers 01H30.
L'épreuve s'est déroulée dans la salle de conférences de la mairie de Kisarazu, dans la banlieue est de Tokyo, sous le contrôle de fonctionnaires municipaux et avec une pause de dix minutes toutes les deux heures.
"Il a une façon spéciale de se rappeler les décimales, en pensant à des noms qui accompagnent les séries de chiffres", a expliqué un employé municipal.
"Je n'ai rien ressenti de sensationnel, j'ai juste vidé tout ce qu'il y avait dans ma mémoire", a commenté l'heureux détenteur du record.

Les nombres formés uniquement de 1 sont-ils premiers ? Evidemment, ceux qui sont formés avec un autre chiffre sont non premiers, puisque multiples d'un nombre formé uniquement de 1. En 1907, Henry Ernest Dudeney (10 avril 1857 - 24 avril 1930), dans "The Canterbury puzzles", indique que 11 est premier, mais que les nombres formés de trois à dix-huit chiffres 1 sont non premiers. Il bute sur le nombre formé de dix-neuf 1. Un de ses lecteurs, Hoppe, démontre que le nombre formé avec dix-neuf 1 est premier. Celui formé de vingt-trois chiffres 1 est aussi premier.
Pour qu’un nombre composé de n chiffres 1 soit premier, il faut que n lui-même soit premier. Voyez-vous pourquoi ? Dans les années 1970, on est allé jusqu’à n = 373 sans trouver d’autres nombres premiers au-delà de n = 23.

L'indice de Manning, du nom d'un chercheur britannique de l'Université du Lancashire, est une méthode qui étudie le dimorphisme sexuel des mains.
Selon lui, le rapport entre la longueur de l'index et celle de l'annulaire permet de déterminer directement le sexe d'un individu. Durant les premiers mois de la vie du fœtus, des hormones joueraient sur le développement de ces deux doigts : les œstrogènes pour la croissance de l'index et la testostérone pour celle de l'annulaire. Un homme présenterait ainsi un indice moyen de 0,96, une femme, un indice proche de 1.
En septembre 2005, résolument décidé à décrypter les fresques de Bornéo, Jean-Michel Chazine s'entretient avec Arnaud Noury, un ancien archéologue devenu informaticien et lui demande s'il serait envisageable de réaliser un logiciel permettant d'identifier l'appartenance sexuelle des empreintes – selon le principe de Manning – à partir de simples photographies. Pour Arnaud Noury, le défi ne semble pas insurmontable et, quelques semaines plus tard, son logiciel baptisé Kalimain est prêt à être testé sur des images de la grotte Gua Masri II.

Vous n'avez pas d'idée pour les paroles de votre prochaine chanson ? Pourquoi ne pas égréner les décimales de pi ? Le résultat est un peu monotone, mais intéressant...

Ecouter le résultat

LA CIMAISE ET LA FRACTION

Une cimaise, seule, du haut de sa corniche,
s'ennuyait à crever comme un chien dans sa niche.
Pour occuper son temps, elle fait des divisions
Et se trouve soudain devant une fraction.
" Quel curieux animal... " s'étonne la cimaise,
contemplant le quotient : trois divisé par treize.
La cimaise n'est pas matheuse,
C'est là son moindre défaut.
" Moi j'ai pas mon bachot "
fait-elle d'une voix boudeuse.
" Un chiffre sur un autre, que sépare une barre,
C'est plus que compliqué, c'est carrément bizarre...
- Compliqué ? pas du tout, s'indigne la fraction,
Je ne suis, à vrai dire, qu'une représentation.
C'est tout simple, voyez : Trois est numérateur,
Et le treize, au dessous, est dénominateur.
D'ailleurs, sans me vanter, je suis irréductible.
- Si vous me l'affirmez... Je ne dirai pas non.
- Treize et trois sont premiers, insiste la fraction.
- Euh, oui, fait la cimaise, premiers ? C'est bien possible. "
La fraction, à ces mots, se sent encouragée.
Elle parle théorie, évoque l'addition,
Et le pépécéhème, et le pégécédé :
" De façon générale, on dira p sur q...
- Comment ? Soyez polie.
- C'est un malentendu, voyons, dit la fraction.
C'était une expression... Pour rester dans l'abstrait.
- p sur q me paraît, à moi, assez concret,
J'ai beau n'être, c'est vrai, qu'une décoration,
J'ai du vocabulaire. Mieux, j'ai de l'instruction.
J'entends, de ma corniche, bien des conversations,
Personne, au grand jamais, n'y parle de fraction.
Allez, déguerpissez, misérable invention. "
La fraction, à ces mots, comprend qu'on la renvoie.
Elle ouvre un large bec, et laisse tomber son trois.
La cimaise s'en saisit, et dit : " Cher diviseur,
sachez que tout professeur
est ennuyeux pour celui qui l'écoute
Cette leçon vaut bien un numérateur, sans doute. "
Dépitée, la fraction, valant zéro sur q,
comprit, très en pétard, qu'elle ne diviserait plus.

Double parodie d'Hervé Le Tellier, inspirée par "La Cimaise et la Fraction", fable de Raymond Queneau déduite de "La Cigale et la Fourmi" par Substantif-adjectif-verbe + 7.

The pi-search page permet des chercher des séquences de chiffres dans 200 millions de décimales de pi. Je ne vois pas très bien à quoi ça peut servir, mais c'est rigolo!

Faire éteindre leurs téléphones portables à une classe d'adolescents n'est pas une mince affaire, notamment lorsque ces derniers ont trouvé une sonnerie inaudible pour les adultes. Dans les endroits où les portables doivent rester éteints, les moins de 20 ans on trouvé une parade : la mosquitotone, aussi connue sous le nom de teen buzz.
Tout a commencé lorsqu'une entreprise a mis au point une sonnerie destinée à éloigner les ados qui se regroupent devant des magasins sans pour autant déranger les adultes. Sur quel mécanisme se base ce son ? Il semblerait qu'en grandissant, les adultes voient leurs capacités auditives s'amoindrir et qu'ils n'entendent plus certaines franges de sons. C'est bien cette faiblesse qui est exploitée par le Mosquito.
Ce principe a été inversé par les adolescents qui se sont dits qu'ils pouvaient le retourner en leur faveur en l'utilisant comme sonnerie de portable. Le Mosquito est devenu Mosquitotone (sonnerie Mosquito) et a fait fureur auprès des adolescents américains puis anglais. Il a aussi été imité par d'autres firmes qui veulent profiter de son potentiel.
Cependant, il semble que certains adultes entendent mieux que d'autres et que ceux-là ne soient donc pas dupes puisqu'ils entendent les ultra-sons en question. Faites le test !

Deux étudiants ont mis à profit l'intelligence artificielle pour déterminer que le Brésil gagnera la Coupe du monde de football. Imran Fanaswala et Yashar Fasihnia, deux étudiants en informatique aux Émirats arabes unis, ont mis au point un programme informatique baptisé FIFI pour «Fifa Intelligence». Les deux jeunes hommes de 22 ans ont utilisé des notions de statistique pour mettre au point leur «prédicteur de Coupe du monde». Ils ont amassé 20 ans de données et d'informations sur les diverses équipes: performance, nombre de buts, marqueurs, etc. Le professeur Joachim Diederich qui a supervisé le projet affirme que FIFI a un taux de précision de 83%. FIFI prévoit donc que le Brésil gagnera contre l'Angleterre lors des demi-finales et que l'Italie éliminera les Pays-Bas. Et selon le programme d'Irman et Yashar, le Brésil l'emportera en finale contre l'Italie.

L'Italie éliminera les Pays-Bas, ce n'est plus possible, puisque ces deux pays ne sont pas dans la même partie du tableau. Par contre, les autres pronostics sont encore possibles.

Je me suis amusé à chercher sur le web des photos de station-service à travers le monde, pour voir comment le prix de l'essence est indiqué. Voici donc cinq panneaux d'affichage, de la notation la plus simple à la plus compliquée:

Le dernière photo vient du Québec (prise par Gilles Jobin). C'est quand même magnifique de mettre deux virgules dans un nombre...

On imagine habituellement le ballon de foot parfaitement rond mais, quand on y regarde de plus près, on s'aperçoit qu'il est formé de plusieurs morceaux, selon un arrangement qui vise à rendre le ballon aussi rond que possible. Les morceaux du ballon sont des polygones réguliers, pas tous les mêmes. Avec des morceaux tous identiques on ne peut fabriquer que des solides platoniciens qui ne sont pas bien ronds : vous imaginez-vous jouer au foot avec un ballon en forme de cube ?
Le ballon standard est formé d'hexagones et de pentagones réguliers. À chaque sommet trois morceaux se rejoignent. Si on ne prenait que des hexagones, on obtiendrait une figure plate comme un réseau de nids d'abeilles ; un seul hexagone et deux pentagones à chaque sommet, cela donnerait un sommet trop marqué (trop pointu).
On prend donc deux hexagones et un pentagone pour rendre la structure la plus sphérique possible. Si on fait la même combinaison à tous les sommets on obtient une structure homogène. En particulier, on voit que deux pentagones ne se touchent jamais. Demandons-nous combien il y a de pentagones et d'hexagones au total. Bien sûr, nous pourrions les compter. Mais on peut se tromper et compter deux fois le même morceau. Il y a des moyens ingénieux pour compter...
Par exemple si on tient le ballon avec un pentagone au sommet ; il y en a alors un autre en bas et les autres pentagones forment deux ceintures de 5 pentagones chacun. Au total cela fait 1 +1 +5 +5 =12 pentagones. Et combien d'hexagones ? Pour les compter, utilisons le nombre de pentagones: chaque pentagone a 5 voisins hexagonaux. Mais chaque hexagone a exactement 3 pentagones pour voisins, donc chaque hexagone est compté trois fois. Au total on obtient pour le nombre d'hexagones 12 × 5 / 3 =20. Vous imaginez la difficulté pour assembler un modèle en papier formé de 12 pentagones et de 20 hexagones !

Maintenant pensez au nombre de côtés, c’est-a-dire de segments qui sont à la frontière de deux faces. Il y en a beaucoup, leur nombre paraît compliqué à calculer sans faire d’erreurs... mais il y a un truc ! Une formule relie ces nombres : c’est la formule d’Euler, du nom d’un très grand mathématicien suisse, Leonhard Euler (1707-1783). Notons S le nombre de sommets, A d’arêtes, F de faces. On a : S − A + F = 2.
La formule est valable pour tous les solides fabriqués comme le ballon de foot avec des faces qui se rencontrent suivant des arêtes ; une seule restriction : le solide doit être convexe, c’est-à-dire ne contenir ni partie rentrante ni trou. Si on applique cette formule pour le ballon de foot on trouve : A = 60 + 32 − 2 = 90.

Ce ballon traditionnel va peut-être disparaître au profit d'un autre plus performant : le Teamgeist. Conçu par Adidas - fournisseur du ballon de la Coupe du monde depuis 1970 -, le ballon officiel de la Coupe du monde 2006 frôle la perfection en la matière. Aux dires du géant allemand, ce fruit de trois ans d'efforts est trois fois plus précis que ses concurrents.
Première révolution: le ballon ne comporte que 14 morceaux de cuir artificiel quand ses ancêtres en traînaient 32. Adieu donc les traditionnels 12 pentagones et 20 hexagones. Place aux bandes en forme de langue et d'hélice. Ces panneaux permettent d'obtenir une surface externe parfaitement lisse et ronde. Il traverse ainsi l'air avec plus de précision et moins de résistance.
Seconde révolution: les éléments ne sont pas cousus entre eux mais thermocollés au laser. Une technique inventée par Adidas qui le rend quasi étanche.

Source : LES SECRETS MATHÉMATIQUES DU BALLON DE FOOT par Albrecht Beutelspacher, Allemagne, article paru dans MATHÉMATIQUES BUISSONNIÈRES en Europe, pages 4-6
A voir : Icosaèdre tronqué

Cela fait des années que j'ai cette image sur mon disque dur, sans avoir pu jusqu'à maintenant l'exploiter en classe. Je n'arrive pourtant pas à m'en séparer, elle a quelque chose de fascinant....

Chris Féron indique sur son site comment gagner à coup sûr à l'EuroMillions. Il vous faudra jouer 144 grilles, et il y aura toujours 2 numéros et une étoile gagnante, donc un gain à chaque tirage, quels que soient les numéros sortis. Mais attention: vous êtes sûr de gagner quelque chose, mais il n'est pas du tout certain que vous rentrerez dans vos frais...

Un petit tour de "magie":

1. Choisissez un nombre entre 1 et 9 (compris)
2. Multipliez-le par 2
3. Additionnez 5
4. Multipliez le tout par 50
5. Si vous avez déjà eu votre anniversaire cette année, additionnez 1756; sinon additionnez 1755
6. Soustrayez au résultat votre année de naissance (4 chiffres)

Si vous n'avez pas fait de fautes de calcul, vous avez obtenu un nombre de 3 chiffres. Le premier chiffre est celui que vous avez choisi au début, les deux suivants sont votre âge.

MusiNum est un programme gratuit de sonorisation écrit par Lars Kindermann qui transforme les nombres en musique fractale. Tout le monde peut créer une musique en quelques minutes. Intéressant pour les mathématiciens et les amateurs de musique. Les concepts des fractales, l'auto-similarité et de nouvelles sortes de symétries sont maintenant audibles.