Le blog-notes mathématique du coyote

La plus belle formule de mathématiques :

Le nombre d'or semble être juste un nombre, mais il a pris très rapidement, après la découverte de son existence par les Grecs, une véritable dimension mystique et on le retrouve un peu partout, dans la nature et dans les constructions humaines afin de respecter une harmonie subjuguante. Tout vient de la suite de nombres de Fibonacci qui se forme en effectuant la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Si l'on effectue au fur et à mesure le ratio de deux nombres qui se suivent, on tend vers une limite qui vaut à peu près 1,618 et exactement (1+ racine(5))/2.
Il y a de nombreuses pages web qui répertorient tous les exemples de la « divine proportion ». Nos doigts par exemple respectent la proportion entre la distance qui relie la première et la seconde articulation avec la distance entre la seconde et la troisième articulation. Il s'avère que les gynécologues aussi peuvent aussi distinguer si un utérus est normal pour son âge. Il existe à ce niveau aussi un ratio idéal qui est conforme au nombre d'or.
Un gynécologue s'est intéressé au problème et a mesuré l'utérus de 5000 femmes. Il s'agit du ratio entre la longueur et la largeur de l'utérus. Ce ratio vaut 2 à la naissance et il décroit jusqu'à atteindre 1,46 à la fin de la vie. Au pic de la fertilité, entre 16 et 20 ans, on est à peu près à 1,6, le nombre d'or.

Source : Sur-la-Toile

En partant de mouches dénuées du sens du calcul, des scientifiques sont parvenus à faire évoluer ces drosophiles pendant quarante générations jusqu’à ce qu'elles démontrent qu’elles savaient compter. Ils espèrent ainsi remonter aux origines du sens des mathématiques. L'étude, qui n'a pas été publiée, a de quoi surprendre car certains détails restent (encore) inexpliqués. Une affaire à suivre...

Les mathématiques, fléau des uns, passion des autres, n’ont pas encore livré tous leurs mystères. Ce sens des nombres se retrouve dans toutes les populations humaines mais s’exprime pourtant différemment. Il n’est en tout cas pas l’apanage de l’Homme, puisque d’autres espèces animales ont fait montre de leurs talents de compteurs. Jusqu’aux mouches drosophiles qui, aidées par des scientifiques, ont évolué jusqu’à maîtriser les rudiments de l’arithmétique…

Lire l'article sur Futura-Sciences

Si la nature évolue selon les règles décrites par Darwin, qu’en est-il de la culture ? Des auditeurs peuvent-ils exercer une pression sélective pour transformer génération après génération une cacophonie en une mélodie audible ? La réponse est oui… et c’est DarwinTunes qui nous le prouve !
C’est un fait indéniable : la musique évolue dans le temps. Les opéras de Mozart qui étaient à la mode fin XVIIIe siècle ne sont pas diffusés en boîte de nuit. Les techniques, les mélodies se sont transformées depuis l’époque classique mais à allure progressive. Dès qu’un courant musical commence à s’imposer, les compositeurs partent alors dans une direction différente pour créer quelque chose de nouveau et d’innovant à partir de ce qui est préexistant.
Quelle est la force qui guide cette évolution ? Est-ce davantage le génie du musicien ou la mélomanie du public ? Des chercheurs de l’Imperial College de Londres ont trouvé un moyen d'obtenir les réponses à ces questions en supprimant la créativité du compositeur et en laissant la musique évoluer selon les lois darwiniennes, sous la pression de sélection des auditeurs. Leurs résultats sont publiés dans les Pnas.

L'origine de la musique par les moyens de la sélection naturelle

Le concept est original. Depuis 2009, ces scientifiques ont mis en ligne un logiciel nommé DarwinTunes, accessible à tous. Le principe est le suivant. Le programme a généré aléatoirement une population de cent séquences sonores depuis une base de données qui s’apparente à une bibliothèque de gènes numériques. Parmi ces extraits sonores de 8 s chacun et répondant au même tempo, les participants étaient invités à en juger vingt avec une échelle allant de 1 à 5 (d’« inaudible » à « génial »).
Les dix sons préférés par les internautes allaient se mélanger et se recomposer (un semblant de reproduction sexuée) de manière à former vingt nouvelles séquences, les dix autres étant éliminés. Ainsi, on obtenait une nouvelle génération de mélodies, différentes de leurs parents. De plus, de manière aléatoire et pour imiter les lois de la nature, des mutations s’intercalaient au milieu des nouvelles séquences filles. La nouvelle génération était alors mélangée aux quatre-vingts extraits sonores qui avaient échappé au processus de sélection et une nouvelle boucle s’enclenchait.
En tout, au moment où les scientifiques ont écrit leur étude, 6.931 personnes ont joué le jeu et contribué à faire évoluer 2.513 générations de séquences sonores. Au bout de quelques centaines de progénitures, ce qui ressemblait au départ à une cacophonie a commencé à devenir une mélodie douce et audible. Cependant, depuis les environs de la 1.200e génération, l’attractivité des séquences semble avoir atteint un plateau. Les extraits sonores émergents ne sont ni plus ni moins appréciés que leurs parents, avec une note moyenne autour de 3.

Vers la musique parfaite ?

Ce travail démontre bien le rôle crucial joué par le public dans l’évolution des tendances musicales. Les mélodies détestées passent à la trappe tandis que les sonorités préférées survivent à travers les âges.
Cependant, ce plateau observé dans le degré de satisfaction des auditeurs laisse supposer que des processus naturels demandent une mise en place longue et progressive. Le compositeur pétri de talent va lui permettre de faire un grand saut évolutif et d’anticiper très nettement les goûts des auditeurs en évitant toutes les étapes intermédiaires entre deux sonorités. Un peu comme s’il donnait un coup de pouce à l’évolution…
Les chercheurs espèrent désormais que DarwinTunes connaîtra encore davantage de notoriété car même si une première étude est publiée, le logiciel tourne toujours. Il a dépassé les 3.500 générations. À force, finira-t-il par générer la plus grande musique de tous les temps ?

Source : Futura-Sciences

Un groupe de chercheurs japonais a établi un modèle mathématique intitulé The Hit Phenomenon, capable de prédire le succès d'un film au box-office, selon une étude publiée vendredi dans la revue New Journal of Physics.
Les chercheurs du Département de mathématiques appliquées et de physique de l'université de Tottori, au Japon, ont utilisé comme données les dépenses publicitaires quotidiennes de vingt-cinq films sortis dans les cinémas japonais, tels qu' Avatar de James Cameron, leader au box-office mondial avec 2.78 milliards de dollars, Da Vinci Code de Ron Howard, Pirates des Caraïbes 3 ou Spider-Man 3 .
Pour bâtir leur modèle, ils ont également estimé le bouche à oreille autour des films, par le nombre de posts sur les réseaux sociaux. Les scientifiques ont ainsi calculé la probabilité pour un individu d'aller voir un film donné dans un cinéma japonais.

Une théorie applicable dans tous les domaines

Même si la théorie s'est basée sur le public japonais, l'auteur principal de cette étude croit en son universalité. «Tout cela semblait correspondre très bien, ce qui signifie que les calculs pourraient fournir une prédiction assez juste de la réussite d'un film, avant même qu'il ne soit sorti. C'est un modèle général, il marchera dans d'autres pays» a déclaré le chercheur japonais, Akira Ishi.
Si cette théorie concernait pour le moment le monde du cinéma, les chercheurs japonais voient déjà plus loin. Selon eux, la formule pourrait être appliquée à d'autres domaines comme la musique en ligne, ou encore pour le marché des boissons gazeuses.

Source : Le Figaro

Le jeu de la roulette n'est pas le plus intéressant du point de vue des probabilités au Casino (c'est le Blackjack). Néanmoins, il faut savoir que l'on a pas mal de chances de gagner ... si l'on ne joue qu'une fois et qu'on s'en tient là! En effet, l'intérêt de la « Maison » est de vous faire jouer de nombreuses fois : les probabilités sont claires et l'avantage est pour le Casino au long terme (si vous jouez une infinité de fois). On a l'impression qu'il s'agit d'un jeu de hasard pur et qu'on ne peut rien y faire, mais ce n'est pas vrai, si on triche un peu avec de la technologie. Après tout, c'est une bille qui roule et Galilée les étudiait.
Oh ! Il ne s'agit pas de technologie très moderne, car l'exploit a été réalisé en 1970 par Doyne Farmer, alors étudiant. Il a utilisé un ordinateur portable dans des casinos au Névada. Seulement, jusqu'à aujourd'hui, il n'avait soufflé mot sur sa technique. C'était, selon lui, pour que les casinos ne soient pas au courant et que d'autres « petits génies » se fassent un peu d'argent en douce, sans se faire remarquer.
Une récente recherche a par ailleurs démontré qu'avec quelques mesures de base et un simple téléphone portable (qui est en fait un ordinateur puissant), vous pouvez renverser les probabilités en votre faveur (sans pour autant gagner à chaque coup, mais plus souvent que la « Maison »).
Le modèle qui a été publié dans la revue « Chaos » divise le jeu en deux parties qui se succèdent. Au début, la balle roule tranquillement sur le bord et finit par tomber. Cette partie est très facile à prédire. La deuxième étape est plus difficile car la balle frappe les rainures et commence à partir dans tous les sens, mais on peut toutefois restreindre le nombre de possibilités grâce à la théorie du Chaos pour estimer la chute finale.
L'équipe a effectué de nombreux essais avec leur petit ordinateur portable et sur 700 essais tout s'est déroulé à merveille pour les prédictions. D'ordinaire, l'avantage du Casino est de (seulement) 2,7 % au jeu de la roulette. Avec l'ordinateur portable et une caméra automatique (qui serait détecté immédiatement par les services du Casino de nos jours), l'avantage passe au joueur est de 18 % !
Farmer pense qu'il s'agit à peu près du même modèle que celui qu'il avait utilisé dans les années 70. Il a noté une différence : dans son modèle, la bille ralentissait en raison du frottement de l'air. Dans le modèle récent, il s'agit de la résistance au roulement. A priori, les casinos savent que la roulette a cette faiblesse par rapport aux ordinateurs portatifs. Les chercheurs n'ont jamais essayé cela dans un vrai casino. Toutefois, il paraît que certains petits malins s'y sont essayé dans leur coin.

Source : Sur-la-Toile

Un homme âgé de 41 ans, du nom de Jason Padgett, qui ne démontrait aucun intérêt pour les mathématiques, ayant même délaissé ses études de niveau secondaire en raison de ses piètres résultats en cette matière, se retrouva totalement transformé après une attaque brutale par des individus l'ayant roué de coups à la tête. Depuis lors, il se dit obsédé par les chiffres et la géométrie. Étrange métamorphose qui demeure encore mystérieuse aux yeux des médecins!
Des courbes, des spirales, des schémas, des extraits du théorème de Pythagore se succèdent sans cesse dans sa pensée. Cet homme dessine désormais sans difficulté des fractales, ces formes dont le tout ressemble à l'une de ses parties, ces notions lui étant tout à fait inconnues avant cet accident. Après s'être remis de son agression, cet individu entrepris de reproduire sur papier des diagrammes d'une grande complexité, lui-même interdit devant ce nouveau talent.

Suite à une batterie de tests effectués par un neuroscientifique, Jason Padgett s'avère bien être un être extrêmement talentueux, un génie, dans une sphère spécifique. Autrefois vendeur de meubles aux États-Unis, cet homme projette aujourd'hui de devenir enseignant en mathématiques.

Source : Sur-la-Toile

Du calme! Ce n'est pas le rédacteur de cette actualité qui l'affirme, mais un chercheur en psychologie américain. Il s'agit de David Dunning qui travaille à l'université Cornell. Il a voulu regarder les limites du concept de démocratie. Ce processus démocratique se fonde en effet sur l'hypothèse que la grande majorité des citoyens en âge de voter est capable de reconnaître le meilleur candidat ou les meilleures idées politiques qui sont affichées. Oui, mais voilà: de nombreuses études ont mis le doigt sur les failles de notre psychologie en la matière de prise de décisions. Nous sommes victimes d'un terrible biais cognitif nommé « Effet Dunning-Kruger ».
Cela impliquerait en réalité que les élections fournissent plutôt des présidents médiocres qui ont forcément de médiocres résultats sur le plan politique.
Dunning fait la remarque suivante: si vous manquez de connaissances sur les réformes en matière de taxes, comment distinguer les véritables experts en la matière ? Le résultat est qu'aucune quantité d'informations et faits concernant les candidats ne peut compenser l'incapacité inhérente de votants d'évaluer ces candidats. Du haut de sa chaire, Dunning ose lancer que la plupart des gens n'ont pas le niveau pour évaluer la justesse d'une idée.
On ne sait pas si c'est par misanthropie, mais Dunning a réalisé de nombreuses études qui ont montré que les gens se donnent en général une bien trop grande estime de leurs capacités intellectuelles. D'après lui, cela concerne un peu toutes les matières, comme la grammaire, jouer aux échecs, et même si une blague est rigolote ou non. Dans un domaine commun donné, tout le monde s'estime haut et fort un peu trop vite meilleur que la moyenne: par exemple, êtes vous un meilleur conducteur que la moyenne? Pourtant, il en faut bien certains qui vont avoir les plus mauvais scores... Où sont-ils passés?
On a par exemple demandé à des étudiants de noter des examens sur la grammaire. On a remarqué que les étudiants qui étaient les plus mauvais en grammaire donnaient les résultats les plus imprécis sur les autres. C'est logique: ils n'étaient pas capables de reconnaître la bonne réponse, même en la voyant. Nous avons en réalité une très grande difficulté à estimer non seulement nos capacités, mais aussi celles des autres. Comment dire si quelqu'un est incompétent (dans un domaine donné), si vous êtes vous même incompétent dans ce domaine?
En bref, nous sommes tous sur certains plans, des aveugles qui devront juger de la vision des autres (en votant). Un sociologue allemand a voulu tester cette théorie sur une simulation par ordinateur de vote démocratique. Aux « agents » en âge de voter, il a appliqué une courbe « en cloche » (ou de Gauss ou de loi normale centrée réduite) pour le leadership. Il a pris également pour hypothèse que les votants étaient incompétents pour déceler les compétences en leadership des candidats par rapport à leur propre leadership.
L'élection simulée fut lancée. Résultat: les candidats qui avaient des compétences juste un peu au-dessus de la moyenne gagnaient toujours. Pour le sociologue, c'est clair: ce ne sont jamais les meilleurs candidats qui sont élus.

Sources : Sur-la-Toile, LiveScience.com

La semaine passée, lors des élections présidentielles russes, la chaîne info pro-Poutine Russie-24 a montré que la participation dans la région de Rostov était de 146% : "Russie Unie" a récolté 58.99% des voix, le Parti communiste 32.96%, "Russie Juste" 23.74%, le Parti libéral-démocrate 19.41%, "Pomme" 9.32%, "Patriotes de Russie" 1,46% et "Juste cause" 0.59%. Total : 146.47%.

Source : skuky.net

Une boutique en ligne proposant T-shirts, mugs et autres accessoires en relation avec les maths : www.humour-mathematiques.com

Une camionnette roule à 100 km/h. Sur la plateforme arrière, un canon propulse un ballon à 100 km/h dans la direction opposée à celle de la camionnette. Que se passe-t-il ? Réponse sur cette vidéo.

Jusqu’à il y a encore quelques années, on pensait qu’il était techniquement impossible de plier une feuille de papier plus de sept fois.
La barre avait été dépassée en 2002, lorsqu’une étudiante américaine avait pu plier 12 fois l’équivalent d’un rouleau de papier-toilette.
Record battu, puisque des étudiants en mathématiques de l’école St. Mark de Southborough, dans le Massachusetts, ont réussi à plier 13 fois un rouleau de papier-toilette, rapporte le site du New Scientist.

Contrairement à ce qu’on pourrait penser de prime abord, le pliage de papier est un sujet d’étude on ne peut plus sérieux. Comme l’épaisseur de la feuille double à chaque pliage, il faut établir une formule mathématique qui prend en compte la nature du papier, son épaisseur et sa longueur (entre autres).
Pour parvenir à leurs fins, les étudiants ont utilisé plusieurs rouleaux. Mis bout à bout, ils ont formé une bande de 1,2 kilomètre de long, étendue dans un couloir du Massachusetts Institute Of Technology (MIT).
Après beaucoup de patience et des heures d’effort, les étudiants ont plié le tout 13 fois. Un empilement de 1,5 mètre de long, 76 centimètres de haut et composé de 8192 couches de papier.

Source : LeMatin.ch

1. Choisissez n’importe quel nombre de quatre chiffres, tous différents. Par exemple 4398.
2. Arrangez les chiffres dans ce nombre de manière ascendante et descendante (9843 et 3489)
3. Soustrayez le plus petit nombre du plus grand: 9843 – 3489 = 6354
4. Recommencez les 3 premières étapes avec ce nouveau nombre.

6543 – 3456 = 3087
8730 – 0378 = 8532
8532 – 2358 = 6174

Peu importe le nombre de quatre chiffres (différents) que vous choisirez au départ, vous obtiendrez toujours 6174 à la fin, en moins de 8 étapes. 6174 est appelé constante de Kaprekar du nom du mathématicien indien qui a proposé ce processus en 1949.

Pour en savoir plus : Mysterious number 6174, dans Plus Magazine

Le nombre 142857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables. La plupart de celles-ci découlent du fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

Voir ces propriétés sur Wikipédia

Le Wolfram blog montre comment modéliser une citrouille avec Mathematica.

Fiche technique

La 21e cérémonie s'est tenue le 29 septembre 2011. Rappelons que les prix Ig Nobel récompensent des publications ou des travaux scientifiques qui font des recherches inusuelles et imaginatives.

Physiologie : à Anna Wilkinson, Natalie Sebanz, Isabella Mandl et Ludwig Huber pour leur étude montrant qu'on n'a pas de preuve que le bâillement soit contagieux chez les tortues charbonnières à pattes rouges.

Chimie : à Makoto Imai, Naoki Urushihata, Hideki Tanemura, Yukinobu Tajima, Hideaki Goto, Koichiro Mizoguchi et Junichi Murakami, pour avoir déterminé la densité idéale de wasabi pour être réveillé en cas d'incendie ou de toute autre urgence, dans l'optique de réaliser un système d'alarme à base de wasabi diffusé dans l'atmosphère.

Médecine : à Mirjam Tuk, Debra Trampe et Luk Warlop, ainsi qu'à Matthew Lewis, Peter Snyder et Robert Feldman, Robert Pietrzak, David Darby et Paul Maruff pour avoir démontré que l'on peut prendre, dans certains cas, de meilleures décisions lorsqu'on a un besoin urgent d'uriner, et de mauvaises décisions dans d'autres cas.

Psychologie : à Karl Halvor Teigen de l'Université d'Oslo, pour avoir tenté de comprendre pourquoi nous soupirons dans la vie de tous les jours.

Littérature : à John Perry de l'Université de Stanford, pour sa théorie de la procrastination structurée qui affirme que pour réussir sa vie, il faut se concentrer sur quelque chose d'important, mais avant tout afin d'éviter de réaliser quelque chose d'encore plus important.

Biologie : à Darryl Gwynne et David Rentz pour avoir découvert qu'une espèce de scarabée tentait de s'accoupler avec un certain type de cannette de bière australienne.

Physique : à Philippe Perrin, Cyril Perrot, Dominique Deviterne, Bruno Ragaru et Herman Kingma, pour avoir déterminé pourquoi les lanceurs de disque sont atteints de vertige, mais pas les lanceurs de marteau.

Mathématiques : à Dorothy Martin, Pat Robertson, Elizabeth Clare, Lee Jang Rim, Credonia Mwerinde et Harold Camping, pour avoir prophétisé la fin du monde, respectivement en 1954, 1982, 1990, 1992, 1999, 1994 - le dernier ayant rectifié sa prédiction pour le 21 octobre 2011). Tous sont récompensés pour nous avoir enseigné la prudence dans le domaine des affirmations basées sur des calculs mathématiques.

Paix : à Arturas Zuokas, le maire de Vilnius, pour avoir démontré que le problème du stationnement illégal pouvait être résolu en écrasant les véhicules mal garés avec un char d'assaut.

Sécurité publique : à John Senders de l'Université de Toronto, pour avoir conduit une recherche sur l’attention requise pour conduire un véhicule, qui impliquait une série de tests dans lesquels un dispositif masquait régulièrement la vue du conducteur roulant sur une autoroute.

Source : Wikiédia

Lorsqu'on est un bébé, on est très motivé à trouver des sucreries. Des chercheurs ont tiré parti de cette motivation pour déterminer si les bébés d'environ un an d'âge sont capables de comprendre la base des notions probabilistes. L'expérience était simple. D'abord, on faisait goûter aux enfants deux sucettes différentes : une rose et une noire. On notait la préférence. On montrait ensuite deux bocaux. L'un avait beaucoup de sucettes noires et un peu de roses et l'autre inversement. Le chercheur prenait une sucette dans chaque bocal devant le bébé mais en cachant la couleur des sucettes.
Enfin, on lâchait les deux sucettes dans deux bocaux opaques. Les bébés ne pouvaient donc savoir quelle était le bocal qui contenait la sucette qu'il préférait. Toutefois, vous avez compris, ils pouvaient estimer des probabilités. Ainsi, 78% des bébés ont été assez perspicaces pour choisir le bocal « le plus probable ».

Source : Sur-la-Toile