Le blog-notes mathématique du coyote

Pour tester votre attention, observez bien la séquence ci-dessous, et tirez-en vos propres conclusions :

Quel est le centre de Wikipedia ? Et quel est son diamètre ? Voila par exemple quelques-unes des questions étranges qu’on peut se poser lorsqu’on étudie la théorie des “petits mondes”, ce champ des mathématiques qui analyse la configuration des relations au sein d’un réseau. L’exemple le plus connu dans ce domaine est la notion des “six degrés de proximité” existant entre tous les êtres humains. Dès les années 60, Stanley Milgram (également connu pour ses expériences sur l’autorité) a montré qu’il était possible de relier tous les habitants de cette planète en passant environ par six intermédiaires. Depuis, l’idée a été reproduite dans de nombreux domaines, par exemple dans le cas du “jeu de Kevin Bacon“, qui consiste à se demander combien de connexions permettent de relier Kevin Bacon à n’importe quel autre acteur (il existe d’ailleurs une version avancée de ce jeu ne se limite pas à Kevin Bacon mais examine les relations entre deux comédiens pris au hasard).

Cette théorie des petits mondes est en train de devenir la nouvelle révolution scientifique à la mode, et on l’applique aujourd’hui tant à la physique qu’à la biologie ou à la sociologie, et bien sûr au web, la distance entre deux sites s’exprimant par le nombre de clics de souris nécessaires pour se rendre de la page de départ à celle d’arrivée. On ne s’étonnera donc pas qu’un certain Stephen Dohan l’ait appliqué aussi à “la” Wikipedia, afin d’examiner les connexions reliant les différents articles.

L’idée en soi est excellente et prolonge les nombreux outils qui permettent déjà de documenter les évolutions de la plateforme. Elle pourrait permettre d’établir une cartographie des différents domaines de connaissance, de repérer des associations restées enfouies… Malheureusement, certaines idiosyncrasies de Wikipedia rendent ce projet difficile.

En théorie des réseaux, on appelle le “diamètre” la plus longue chaine de connexions nécessaire pour unir deux éléments du réseau. Si le “diamètre” des relations humaines est d’environ 6, celui de la Wikipedia, lui, tend à créer de la confusion : il est de 70 ! Mais ce chiffre ne signifie pas grand-chose, parce qu’il est le produit d’une série de 70 listes particulières, celles des astéroïdes du système solaire, organisées dans la Wikipedia de telle manière qu’il faut parfois 70 clics pour aller d’une liste à une autre ! Si on corrige ce type d’abbération, en réalité, la “moyenne” des clics nécessaires pour se rendre d’un article à un autre est de 4,75, ce qui est bien plus proche de la moyenne.

L’autre question que s’est posée Stephen Dohan était la nature du “centre” de la Wikipedia : c’est-à-dire l’article qui proposait le trajet le plus court vers tous les autres. Le vainqueur est “2007” qui est à 3,65 clics de n’importe quelle entrée de l’encyclopédie. Mais “2007″ est surtout une liste, ce qui le rend peu intéressant à analyser. Bizarrement le “vrai” centre de la Wikipedia est “United Kingdom” avec une moyenne de 3,67 clics. Plus étrange encore, le second est Billie Jean King, une ancienne joueuse de tennis !

Sur la page de Dohan, on peut trouver un jeu “à la Kevin Bacon” qui permet de voir par soi même les connexions existantes entre deux articles. Ainsi nous apprenons qu’il n’existe que deux clics de distance entre Britney Spears et le philosophe Hegel, l’intermédiaire étant… la date du 14 novembre (mort du second, et vague référence à un article pour la première) !

Il semble donc qu’il reste du temps avant d’envisager une cartographie de la Wikipedia comme un descriptif de la connaissance humaine. Pour ce faire, il faudrait exclure des calculs l’ensemble des articles qui pointent sur de trop nombreuses entrées sans apporter une contribution notable à leur signification (les dates, les pays, les lieux, sauf dans les articles spécifiquement historiques ou géographiques, bien sûr…).

Source : internetactu.net

Des psychologues viennent de mettre en évidence que les femmes adultes qui ont un menton proéminent sont plus sexuellement actives que celles qui ont un menton plus fin.
Ces femmes à grand menton sont toutefois moins attirantes pour les hommes en quête d'une partenaire pour le long terme. Les grands mentons chez les femmes sont souvent provoqués par un taux un peu supérieur à la moyenne de l'hormone testostérone, que les femmes ont aussi en quantité variable. Cette hormone a tendance à accroître l'attrait pour le vagabondage sexuel ; un aspect plus typiquement masculin normalement.
Les chercheurs américains et canadiens ont ainsi sélectionné un groupe de femmes et les ont interrogées sur leur passé sexuel et leurs fantasmes. On demandait ensuite à un groupe d'hommes d'évaluer la désirabilité de ces femmes comme partenaires de vie. Ces hommes n'ont pas tendance à sélectionner les femmes qui ont des attributs plutôt masculins, car ils craignent qu'elles soient davantage infidèles.
Les psychologues croient que ce fait trouve une explication dans le désir issu de l'évolution que la partenaire soit la plus fidèle possible dès le début : cela est motivé par l'idée d'être certain d'élever sa propre progéniture et pas celle d'un autre.
Cette découverte est donc importante, car elle signale que les hommes se fient immédiatement sur des critères physiques évidents (car non masquable puisqu'il s'agit du visage) pour repérer les meilleures candidates à la fidélité.

Source : Sur-la-Toile.com

P.S. Que voyez-vous sur le dessin ? Une vieille femme avec un gand menton ou une magnifique jeune fille ?

On m'a signalé sur le merveilleux site de Thérèse Eveilleau un tour de magie étonnant : l'addition magique.

Lu dans "Ces nombres qui nous fascinent" :

954 est le seul nombre de trois chiffres qui soit "self replicating" : un nombre n dont tous les chiffres sont distincts et décroisssants est dit "self replicating" si, lorsqu'on inverse ses chiffres et qu'on soustrait le nouveau nombre du nombre n, on obtient un nombre dont les chiffres sont les mêmes que ceux qu'on retrouve dans n (954-459 = 495). Aucun nombre de 1, 2, 5, 6 ou 7 chiffres ne satisfait cette propriété. Selon Gardner, 954, 7641, 98'754'210, 987'654'321 et 9'876'543'210 sont les seuls nombres qui satisfont cette propriété.

Ces nombres qui nous fascinent (Broché)
de Jean-Marie De Koninck
Ellipses (2008)

Présentation de l'éditeur
Depuis des milliers d'années, l'être humain est fasciné par les nombres entiers, qu'il s'agisse des nombres premiers de Mersenne, des nombres parfaits, des nombres de Fermat ou, plus récemment, des nombres puissants et des nombres premiers de Wieferich. La découverte de nouveaux nombres avec des propriétés étonnantes suscite l'intérêt tant du mathématicien novice que du chercheur érudit. De surcroît, l'avènement des ordinateurs a permis de mettre en évidence des nombres avec des caractéristiques particulières tout à fait inattendues. Par ailleurs, la conquête de nombres aux attributs exceptionnels est souvent l'occasion de soulever de nouveaux problèmes et, par conséquent, d'ouvrir de nouvelles avenues de recherche en théorie des nombres. Dans le présent ouvrage, Jean-Marie De Koninck propose aux étudiants et enseignants des niveaux collégial et universitaire, de même qu'au mathématicien amateur en quête de divertissement, l'exploration de plus de 2 600 nombres, tout aussi fascinants les uns que les autres, soit par leur caractère unique, soit par leur aspect ludique.

Biographie de l'auteur
Jean-Marie De Koninck est l'auteur de 85 publications mathématiques, dont sept livres. Pour avoir conçu Show Math, un spectacle multimédia, et Math en jeu, un logiciel accessible gratuitement sur Internet, la société Radio-Canada l'a nommé " scientifique de l'année 2005 ".

En voyant le strip ci-dessous, quelqu'un a eu l'idée de programmer une horloge qui donne la décomposition en facteurs de l'heure.

Le bâton plutôt que la carotte ? Aussi étonnant que cela puisse paraître, ce serait en effet une bonne méthode pour une stratégie sur le long terme à l'échelle d'une équipe devant coopérer.

Des expériences antérieures de modèles évolutionnistes comparant coopération altruiste et punition avaient montré que les coûts des punitions par rapport aux gains d'une coopération laissaient penser que punir n'était pas une option viable.
Pour les chercheurs de l'université de Nottingham, c'est sûrement vrai ... si l'expérience ne dure pas suffisamment longtemps. Ces chercheurs ont donc regardé sur une plus longue échelle de temps, si la punition ne pouvait pas finalement améliorer la coopération.
Ils ont ainsi organisé des séries d'expériences concernant le bien public. Ils ont donné à des groupes de 3 personnes, 20 pièces que ces personnes pouvaient garder afin de contribuer au bien public. Chaque pièce valait une unité monétaire UM au détenteur et chaque pièce investie valait 0.5 UM pour chaque membre du groupe.
La règle était que les volontaires pouvaient choisir de donner un UM en échange de la déduction de 3 UM d'un bénéfice d'un autre membre du groupe : une manière de le punir si un volontaire jugeait qu'un autre n'avait pas suffisamment investi pour le bien du groupe.
L'expérience a donc été divisée en deux périodes de temps et reproduite entre court terme, 10 fois ou long terme, 50 fois. On a d'ailleurs réalisé cette expérience soit avec l'option de punition soit sans. Les résultats furent clairs : les résultats de la coopération étaient meilleurs lorsque les joueurs avaient la possibilité de punir les autres.
Cela s'explique par le fait que les gens punissent ceux qui pensent « solo » et cela renforce au final la cohésion du groupe total. Il était manifeste que les gens réagissent différemment selon qu'ils jouent sur le court terme ou le long terme, car la menace de punition était moins forte dans un jeu court terme.
Il était clair que la punition était peu usitée : c'est surtout la présence de la menace qui permet de recadrer le groupe dans le bon chemin de la coopération.
Il y a enfin une manifestation émotionnelle de la présence de cette punition : on voyait par exemple la punition s'exercer dans la dernière itération du jeu (quand cela n'a plus d'effet concret), juste pour faire la leçon à ceux « qui se la jouaient perso ».
Un effet paradoxal du point de vue logique pure mais souvent vérifié dans le cadre de la théorie du jeu.

Source : Sur-la-Toile

La première structure hyperboloïde au monde - la tour de treillage de claire-voie d'acier située actuellement à Polibino (oblast de Lipetsk, Russie), construite pour l'exposition de Nijni Novgorod de 1896 - est l'œuvre de l'ingénieur et scientifique russe Vladimir Choukhov. Les structures hyperboloïdes ont été par la suite utilisées par beaucoup d'architectes réputés : Antoni Gaudí, Le Corbusier, Oscar Niemeyer. Voici un superbe exemple :

Château d'eau des Essarts-le-Roi (Yvelines, France)

Vladimir Grigorievich Choukhov (en russe : Владимир Григорьевич Шухов) (1853-1939) était un grand ingénieur et architecte russe, célèbre pour ses travaux pionniers, à tel point qu'il est parfois surnommé l'Edison russe. Ses innovations principales portent sur le génie civil et l'industrie pétrolière: construction du premier oléoduc en 1878, invention du craquage thermique en 1891, et surtout conception et réalisation des premières structures hyperboloïdes. Plusieurs tours hyperboloïdes en Russie portent encore son nom, notamment à Moscou et près de Nijni Novgorod.

La première structure hyperboloïde du monde: la Tour Choukhov de Nijni Novgorod en 1896
Pour en savoir plus : Wikipédia

La version 7 de Mathematica vient de sortir. Il y a plein de choses sur le site de Wolfram, en outre une section consacrée aux fonctions où l'on trouve un traceur basé sur Mathematica.

Hermann, M., Leuthold, H.: Atlas der Politischen Landschaften – Ein weltanschauliches Porträt der Schweiz. Zürich: vdf Hochschulverlag, 2003

Grand-mère et son nombre
de Stéphane Favre-bulle
Ellipses Marketing (2008)

Présentation de l'éditeur
1, 2, 3, 4... Faire défiler dans sa tête les nombres entiers naturels est un véritable jeu d'enfant! Chacun d'entre nous en a déjà fait l'expérience jusqu'à s'étourdir. Pourtant, il en aura fallu des millénaires pour que les Hommes puissent utiliser et écrire ces nombres d'une manière aussi simple! Et 0 ou 2/3 ou -45 ou 3,18? Et PI ou V2? Sont-ils apparus beaucoup plus tard? Sont-ils si différents? Sont-ils si difficiles à approcher? Un petit tour d'horizon des familles de nombres ne serait peut-être pas superflu... Lionel ne s'était jamais posé toutes ces questions en arrivant chez sa grand-mère pour le week-end. Mais une mamie mathématicienne aime raconter des histoires parsemées de chiffres! Et elle devient vite passionnante lorsqu'elle parle de son monde fabuleux! Après avoir mis en scène les différents mathématiciens grecs dans Maths en bulles, Thalès, Pythagore, Euclide, Archimède, Stéphane Favre-Bulle poursuit son travail d'ouverture à l'Histoire des Mathématiques en abordant cette fois-ci les nombres. En quelques coups de crayons, traces d'encre de Chine et tâches d'aquarelle, ce professeur de mathématiques, passionné de bande dessinée, crée des récits capables de transmettre ces connaissances universelles. Un fond sérieux sous une surface douce et colorée.

Définir le meilleur réseau de bus possible pour les heures de pointe d’une ville fictive… ce n’est pas un nouveau jeu vidéo en ligne mais un concours de mathématiques, sans solution unique, ouvert à tous les amateurs. La Fédération française des jeux mathématiques et la Société de calcul mathématique ont lancé un concours doté de 2000 euros de prix, ouvert jusqu'au 31 mars 2009.

Il s'agit de définir le meilleur réseau de bus possible pour une ville fictive, quadrillée par des artères perpendiculaires, dont le plan tient dans un carré de 2 kilomètres sur 2 kilomètres. Il faudra en particulier positionner les arrêts, tenir compte de la fréquence de passage, des heures de pointe, du nombre de passagers... Toutes ces contraintes, ainsi que le plan de la ville, sont détaillées dans le règlement, publié sur les sites des deux organisateurs.
C'est une question qui évoque le fameux problème dit du voyageur de commerce, toujours non résolu. Dans ce dernier, il faut trouver le chemin le plus court passant par tous les points d'une carte. Pour le concours, il faut trouver aussi une solution optimale mais avec beaucoup plus de contraintes. Les organisateurs espèrent d'ailleurs que les candidats prendront conscience des contradictions existantes entre les différents acteurs, usagers, exploitants et commune.
Un jury désignera le gagnant qui sera récompensé lors du 10ème salon des jeux mathématiques à Paris entre le 28 et le 31 mai.

Les règles de Golomb doivent leur nom au docteur Solomon W. Golomb, un professeur de mathématiques qui s'est particulièrement intéressé à l'analyse combinatoire, à la théorie des nombres, à la théorie du codage et aux communications. Le docteur Golomb s'intéresse aussi aux jeux et aux énigmes mathématiques : il est l'auteur de nombreux articles parus dans la rubrique "Jeux Mathématiques" de Scientific American. Les OGR ont de nombreuses applications dont entre autres : le positionnement des capteurs pour la cristallographie à rayons X, et la radioastronomie. Les règles de Golomb jouent également un rôle en combinatoire, en théorie du codage et dans les communications, et le docteur Golomb est l'un des premiers à avoir analysé leur utilité dans ces domaines.
Une règle de Golomb est une manière de placer des marques sur une droite de sorte que chaque couple de marques mesure une longueur différente des autres. Voici une règle de Golomb à cinq marques :

| |     |         |   |
0 1     4         9   11

Le nombre situé sous la marque donne la distance au bord gauche. La longueur de cette règle est 11; il se trouve que cette règle est l'une des deux règles à cinq marques les plus courtes. L'autre règle est celle dont les marques se situent aux positions 0, 3, 4, 9 et 11. (les images inversées de ces deux règles, 0, 2, 7, 10, 11 et 0, 2, 7, 8, 11 constituent également des règles de Golomb optimales. On ne mentionne habituellement qu'un représentant de chaque paire d'images inversées.)
Pour vérifier que la règle ci-dessus est effectivement une règle de Golomb, on peut écrire la table de toutes les paires de marques possibles en indiquant pour chacune la distance correspondante :

Marque 1  Marque 2  Distance
   0          1         1
   0          4         4
   0          9         9
   0         11        11 
   1          4         3 
   1          9         8
   1         11        10 
   4          9         5 
   4         11         7 
   9         11         2 

Notez que la troisième colonne ne contient aucune répétition. La distance 6 n'apparaît pas non plus, mais ce n'est pas grave : une règle de Golomb n'est pas censée permettre de mesurer toutes les distances, mais seulement des distances différentes d'une paire de marques à l'autre.
Le but de l'"optimisation" des règles de Golomb est de les rendre aussi courtes que possible, tout en ne duplicant pas les distances mesurées. Les deux règles à cinq marques données ci-dessus sont optimales.
On caractérise habituellement les règles de Golomb par l'espacement entre les marques plutôt que par la position absolue des marques, comme c'est le cas sur le diagramme ci-dessus. La règle ci-dessus s'écrirait ainsi 1-3-5-2 (ou encore 0-1-3-5-2, mais on oublie souvent le 0 initial).
Par exemple, voici la plus petite règle à 21 marques connue :

2-22-32-21-5-1-12-34-15-35-7-9-60-10-20-8-3-14-19-4

James B. Shearer a compilé une liste des plus petites règles de Golomb connues jusqu'à 150 marques. Si vous comparez les règles, vous constaterez que la règle à 21 marques mentionnée sur la page de James est l'image inversée de celle ci-dessus.
Malheureusement, la complexité de la recherche d'OGR croît de manière exponentielle avec le nombre de marques (de la même manière que ce que les mathématiciens décrivent sous l'appellation "problème NP complet" ... comme l'infâme "problème du voyageur de commerce").

Source : distributed.net

Une comme application intéressante des intégrales que l'on pourrait exploiter en classe : THE CENTER OF THE UNITED STATES AND OTHER APPLICATIONS OF CALCULUS TO GEOGRAPHY, par David Richeson.