Le blog-notes mathématique du coyote

L'ouvrage intitulé: Leonhard Euler: "incomparable géomètre" dirigé et majoritairement rédigé par Philippe Henry, doctorant en mathématique de l'Université de Genève, offre au lecteur un voyage richement illustré à travers la biographie et l'oeuvre du grand mathématicien. Conçu dans le cadre d'une exposition du Musée d'Histoire des Sciences de Genève dédiée à Euler, le livre est bien plus qu'un simple catalogue. Alors que l'on compte de nombreuses biographies d'Euler en allemand, la notice biographique d'Anne Aeschlimann et Philipe Henry vient combler un manque patent de la littérature française; en effet, les éloges de Condorcet et de Nicolas Fuss n'ont aujourd'hui encore pas vraiment été remplacées par une biographie digne de ce nom. Ainsi que le remarque Jean-Claude Pont (professeur émérite de l'Université de Genève) dans sa préface, l'oeuvre d'Euler a eu une grande influence sur le développement des sciences mathématiques des XVIIIe et XIXe siècles. L'ouvrage de Philippe Henry consacre donc la plus grande partie de son propos au travail du mathématicien. On y découvre, exposé dans un langage simple et clair, les fameux problèmes des ponts de Königsberg ou du cavalier, le Théorème sur les polyèdres, les travaux sur les carrés magiques, mais aussi les articles et livres plus importants dédiés au développement du cacul infinitésimal et différentiel, à la mécanique, l'astronomie, l'optique, la géographie, la musique, etc.

Sous la direction de Philippe Henry
Genève: Médecine & Hygiène, 2007. 236 p. ; 72 ill. ISBN: 978-2-88049-241-0.

Trax est un jeu d’une simplicité exceptionnelle est d’une incroyable profondeur stratégique. Sid Sackson lui-même pense qu'il s'agit d'un grand jeu, à côté des classiques comme les Dames ou Othello/Reversi.
Il se compose de 64 pièces strictement identiques. Elles présentent toutes deux faces : une avec les lignes noires et blanches qui se croisent, l’autre avec les mêmes lignes qui s’écartent. Chacun à son tour pose une tuile en contact avec une ou plusieurs autres déjà jouées en faisant correspondre les lignes. L’objectif est de former une boucle fermée à sa couleur ou une ligne de sa couleur qui aille d’un côté à l’autre des bords opposés du jeu.
Ce qui peut sembler un jeu élémentaire se révèle extrêmement stratégique, avec des ouvertures à maîtriser et des pièges à éviter.

Je crois que j'ai enfin trouvé une bonne solution pour produire un cours de maths, et en plus gratuitement. En tout cas, c'est celle que je teste depuis quelques semaines. Le résultat à l'impression me satisfait entièrement (je précise que mes élèves impriment mon cours chez eux).

1. Pour le traitement de texte : OpenOffice (modules writer et math), avec le plug-in Dmaths pour les formules de maths
.
2. Pour les graphes des fonctions : Orge. On peut exporter les images au format jpg et les retoucher avec GIMP
3. Comme tableur, toujours OpenOffice (module calc).
4. Enfin, avant de se lancer dans un dessin difficile, toujours regarder sur le web si ce dessin n'existe pas déjà, en particulier sur Wikipédia.

Et vous, comment faites-vous ?

Histoires de savoir - La chronique de Jean-Luc Nothias - Le Figaro - 31 octobre 2007

Bien évidemment, ce n'est pas Pythagore. Ce serait trop simple. Tout comme Archimède et sa baignoire ou Newton et sa pomme, bien des légendes se sont construites au fil du temps. On ne sait même pas si Pythagore s'est un jour intéressé à ce théorème, connu bien avant lui comme le montrent des tablettes babyloniennes en argile, datant de 1800-1700 av. J.-C. On y trouve des séries de chiffres qui satisfont à ce théorème dit de Pythagore. Rappelons qu'il stipule que dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La fameuse formule a^² = b^² + c^².

On ne sait pas grand-chose de la vie de Pythagore et il n'a laissé aucun écrit direct. Mais qu'il ait été à son époque un « grand » des mathématiques n'est pas contestable. L'époque à laquelle il vivait est d'ailleurs particulièrement riche en grands esprits. Pythagore est né vers 570 av. J.-C. sur l'île de Samos, comme Archimède deux siècles plus tard. Pythagore est contemporain de Confucius et Lao-Tseu, de Bouddha et de Zarathoustra. Mais il ne les connaissait sans doute pas. Après avoir apparemment beaucoup voyagé, il se fixe à Crotone en Calabre, dans le sud de l'Italie (il y mourra vers 480 av. J.-C.). Là, il fonde une espèce de fraternité mystique basée sur les mathématiques et les nombres qui, pensent-ils, sont à la base de l'harmonie universelle. « Tout est nombre » est leur principe et ils attribuent à toute chose un nombre. Ils établissent aussi une correspondance entre les nombres et les mécanismes de la nature. « Les nombres seuls permettent de saisir la nature véritable de l'univers », affirment-ils. Ils croient à la réincarnation, Pythagore lui-même s'estimant la réincarnation d'Euphorbe, un héros troyen. Ils ont des règles de vie strictes comme manger cru et végétarien, ne pas s'habiller de laine ou... ne surtout pas manger de haricots.

Si Pythagore n'est pas l'auteur de « son » théorème, son école a apporté de nombreuses nouveautés en mathématiques. En premier lieu parce que les pythagoriciens avaient une vision du monde très en avance sur leur époque. Ils pensent ainsi, déjà, que la Terre est ronde et que les astres se déplacent sur des cercles concentriques qui obéissent à des lois mathématiques. Il invente ainsi le terme « cosmos » qui veut dire ordre. Ce sont aussi les premiers à développer les démonstrations (le théorème de Pythagore peut aujourd'hui se démontrer de plus de 350 façons différentes). Et ils ont beaucoup étudié les sons et les notes de musique, établissant les harmoniques, les accords et le rapport entre longueurs des cordes et sons.

Disciples déstabilisés

En revanche, ils refusent le zéro, qu'ils apparentent au « vide », de « non-existence » et que donc la nature refuse, et s'empêtrent dans les nombres dits « incommensurables » que l'on appelle aujourd'hui irrationnels. C'est-à-dire que ce ne sont ni des entiers, ni des fractionnaires. Les pythagoriciens ont découvert qu'il est impossible de trouver deux nombres entiers tels que le carré de l'un soit le double du carré de l'autre. Cette question des nombres irrationnels aurait été découverte en constatant que la diagonale d'un carré ne contient pas un nombre entier de fois la longueur du côté du carré : on ne peut pas dire que la diagonale est une fois et demie, ou deux fois, ou deux fois et demie plus longue que le côté. Cela a beaucoup déstabilisé les disciples de Pythagore car cela allait contre leur principe que dans la nature, un nombre est associé à chaque chose. Ils ont quand même beaucoup développé l'arithmétique, ont fondé les bases de la théorie des proportions et étudié les nombres pairs et impairs.

Mais comme de nombreux autres domaines scientifiques, il n'y a pas eu de progression linéaire et constante. Il y a parfois des avancées, parfois des reculs. Au XVIIIe siècle av. J.-C., les Mésopotamiens savaient résoudre des équations du second degré, ainsi que quelques équations du troisième et même du quatrième degré. Deux siècles plus tard, ce savoir se sera apparemment perdu et les Égyptiens ne sauront plus résoudre que des équations du premier degré.

L'histoire du zéro est aussi zigzagante. Si les pythagoriciens refusaient le zéro, longtemps avant eux, les Babyloniens l'utilisaient. Mais dans des formes balbutiantes. Toutes les civilisations, indiennes, mayas et autres, ont, à un moment ou à un autre, flirté avec le zéro. Et le plus difficile pour nous aujourd'hui est d'arriver à comprendre comment on pouvait faire des calculs sans le zéro tel que nous le connaissons, à la fois quantité nulle et chiffre des dizaines, centaines, milliers, etc.

L' Os d'Ishango, aussi appelé Bâton d'Ishango, daté de près de 23 000 ans avant notre ère, semble être la plus ancienne attestation de la pratique de l'arithmétique dans l'histoire de l'humanité. L'archéologue belge Jean de Heinzelin de Braucourt mit au jour cet ossement en 1950 au bord du lac Édouard dans la région d'Ishango au Congo belge, de nos jours en République démocratique du Congo, près de l'Ouganda. L'ossement est en exposition au Muséum des Sciences naturelles à Bruxelles en Belgique.
Il s'agit d'un os de 10,2 cm provenant d'un animal non identifié, découvert dans des couches de cendres volcaniques, qui possède à son sommet un fragment de quartz enchâssé. Plusieurs entailles se retrouvent organisées en groupe sur trois colonnes. Bien qu'il existe des présomptions de sa nature arithmétique, l’os fait l’objet de nombreuses interprétations.

A voir :

• Wikipédia : Os d'Ishango
• L'os d'Ishango : l'objet mathématique le plus ancien

Le théorème de Morley, découvert par Frank Morley en 1898, est un théorème de géométrie.
Soit ABC un triangle quelconque. On trace les trissectrices de ses angles. Leurs intersections se coupent pour former un triangle équilatéral PQR.

Des démonstrations sont présentées sur Wikipédia.

Pour créer une saine philosophie, il vous faudrait renoncer à la métaphysique, et devenir seulement un bon mathématicien.

Bertrand Arthur William Russell

Considérons les 4 chiffres composant l'année 1694, soit 1, 6, 9 et 4 et réordonnons-les de manière totalement aléatoire pour former un autre nombre de 4 chiffres. Supposons que l'on parvienne à 9641, on soustrait alors le plus petit de ces 2 nombres au plus grand, c'est-à-dire ici 9641 - 1694; on trouve alors 7947. Additionnons les 4 chiffres obtenus: 7+9+4+7 = 27. Recommençons jusqu'à n'avoir plus qu'un seul chiffre: 2+7=9. On aboutit donc à 9.
Rien d'extraordinaire me direz-vous.
On aurait cependant obtenu le même résultat avec un autre arrangement, par exemple 1496 ou 4691, etc.
On aurait obtenu également le même résultat en partant d'un autre nombre de base. En fait, on aurait même pu former un nombre de base plus grand, en incluant le mois et le jour.
Maintenant, faites l'essai avec votre propre date de naissance. Y a-t-il une raison pour arriver systématiquement au chiffre 9 ?

C'est peut-être idiot, mais je suis resté ébahi quand j'ai vu la forme de l'anis étoilé (aussi appelé badiane). Qui a dit qu'il n'y avait pas de maths dans la nature ?

Voici l'enregistrement de l'émission SONAR, diffusée le 1er juillet 2007 sur la radio suisse Espace 2. Cette émission de deux heures (!) était consacrée à Euler. Un grand merci à Anne-Marie Rhyn, animatrice de l'émision, qui m'a fait parvenir les fichiers mp3.

Evocation de la vie et de l'œuvre considérable du grand mathématicien bâlois.

"Incomparable géomètre", "le plus grand mathématicien de son temps", "le prince des mathématiques", … Les superlatifs ne manquent pas pour désigner Leonhard Euler. Il est vrai que son œuvre est impressionnante: des centaines de textes - articles et livres - sur les questions mathématiques les plus diverses et également sur des sujets de physique, d'astronomie, d'optique, de géographie, sur des problèmes pratiques concernant l'artillerie ou la navigation, sur des curiosités qui intéressaient le public savant de son époque (les carrés magiques, les jeux de damier ou de cartes, ses célèbres "ponts de Königsberg"). Dans cette production prolifique, beaucoup de découvertes qui ont marqué l'histoire des mathématiques.

On en oublierait presque que Leonhard Euler n'était pas seul, qu'il doit beaucoup à ses collègues bâlois de la famille Bernoulli, qu'il s'inscrit dans le grand mouvement scientifique des Lumières, qu'il a beaucoup échangé avec les savants de son temps, et que son activité aux Académies de Saint-Pétersbourg et de Berlin l'a mis en relation avec l'Europe entière.
L'image du sédentaire, fou de travail, qui finit isolé dans la cécité, mérite donc d'être réévaluée.

avec:

• Gerhard Wanner, mathématicien, professeur à l'Université de Genève
• Pierre-Alain Cherix, mathématicien, maître d'enseignement et de recherche à l'Université de Genève
• Siegfried Bodenmann, historien des sciences, qui travaille sur la Correspondance d'Euler et a collaboré au livre de Philippe Henry, Leonhard Euler: "incomparable géomètre" (éd. M&H /MHS)
• Srishti Chatterji, mathématicien, éditeur des Lettres à une princesse d'Allemagne (éd. PPUR)
• Pierre Cartier, mathématicien, professeur à l'Université de Paris-Jussieu (intervention dans le cadre du séminaire Musique et mathématiques de l'ENS)
• Lectures: Yves Jenny

Par Anne-Marie Rhyn, avec la collaboration de Didier Rossat

Ecouter la première partie (mp3, 52 minutes)
Ecouter la seconde partie (mp3, 68 minutes)

Le cours M@ths en L1gne est proposé par les mathématiciens de l'Université Joseph Fourier, avec le soutien de leurs UFR, de Mathématiques et d'Informatique et Mathématiques Appliquées, ainsi que du Département de la Licence Sciences et Technologies et du conseil régional de la Région Rhône-Alpes.
Ce cours se situe à un niveau intermédiaire entre le programme de maths des terminales scientifiques, et celui des classes préparatoires.

"La statistique... c'est amusant : on peut s'en servir pour organiser des informations et pour y voir plus clair, aussi bien dans des situations ludiques que dans des énigmes touchant tant à la vie quotidienne qu'à la science la plus élaborée. La statistique... c'est varié : de la médecine au contrôle industriel, ou de l'économie à la linguistique, il n'est aucune spécialité qui ne fasse appel aux statisticiens.
La statistique... c'est formateur : appliquée aux données économiques ou sociales, elle devrait favoriser l'esprit critique et nous rendre plus vigilants.
Or les statisticiens ont mauvaise presse ! La statistique relève pourtant bien de l'activité scientifique ; en effet, elle est falsifiable au sens où, suivant Karl Popper, on peut la contester sur des bases rigoureuses. Il y a lieu de se féliciter que les professeurs de mathématiques soient chargés de l'accès à cette branche de l'activité humaine, les enseignants d'autres matières pouvant ensuite s'appuyer sur ce socle. Encore faut il disposer des outils permettant de faire jouer les élèves avec une grande diversité d'exemples. Cet ouvrage vient exactement combler ce besoin."
(extrait de la préface de Jean-Pierre Raoult).

Table des matières

Partie I : Etudes de cas
Bulles de champage et cuillères d'argent
B. Fredenucci, M. Gandit, A. Uh
A quelques points près
C. Schwartz, A.Uhry
Des mots et des chiffres
C. Schwartz, P. Arnoux


Partie II : Des outils de la statistique L. Bouttier, M. Gandit, J. Martini, C. Serret, C. Schwartz
Choisir un nombre au hasard
Trois perles dans un poivrier
Les dés sont ils truqués ?
Boîtes de perles
Zéro fraude
Le théorème central limite


Partie III : Des expériences du comte de Buffon L. Bouttier, M. Gandit, J. Martini, C. Martini, C. Serret, C. Schwartz
Les p'tits sous
L. Bouttier, M. Gandit, C. Serret, C. Schwartz
Triangles quelconques
C. Ouvrier-Buffet, C. Schwartz
Des modèles en cinétique chimique
C. Schwartz, J. Treiner

Qui aurait imaginé, en 1987, quand une bande de passionnés de mathématiques s’est unie pour créer un magazine, que l’aventure perdurerait encore 20 ans plus tard ? Pour fêter cet événement, Tangente publie un numéro exceptionnel de 76 pages, qui regroupe 20 articles, soit un par an.
Art, jeux, géométrie, littérature, histoire,…vous (re)découvrirez au fil des pages les articles -tels qu’ils ont été publiés en leur temps- qui ont marqué la grande aventure de Tangente, parmi lesquels :

• M.C. Esher ou l’art mathématique (1988)
• L’arbre aux zéros (1993)
• Pascal et Fermat, les écrits restent (1996)
• Géométrie de l’équerre (1997)
• Les nombres et proportions de Milan Kundera (1998)
• L’art des dissections mathématiques (2000)
• Alain Connes : la vérité est mathématique (2000)
• Economie et maths : entre fascination et rejet (2001)
• Manipuler les électeurs (2002)
• Thalès et l’ombre de la pyramide (2005)
• François Apery, du mathématicien à l’artiste (2006)
• Le jour où Pi a failli devenir un rationnel (2005)
• La pifométrie (2007)…

Ce numéro inaugure également une nouvelle formule : les hors séries deviennent les Thématiques de Tangente et seront désormais disponibles en kiosque et par abonnement indépendant.

La conjecture de Poincaré : Comment Grigori Perelman a résolu l'une des plus grandes énigmes mathématiques

Présentation de l'éditeur
Comment Grigori Perelman a résolu l'une des plus grandes énigmes mathématiques. Pendant cent ans la conjecture de Poincaré a mobilisé sans succès les plus grands esprits scientifiques. En 1904, Henri Poincaré soulevait la question suivante : "Imaginez une fourmi marchant sur une surface. Comment cet insecte peut-il savoir, sans s'élever au-dessus d'elle, si cette surface est plate ou s'il évolue sur une sphère ou sur toute autre forme ?" En 2003, Grigori Perelman publie sur Internet trois communications qui non seulement règlent son compte à la conjecture de Poincaré mais éclairent d'une lumière nouvelle la géométrie dans les espaces de dimensions supérieures. La communauté scientifique découvre ainsi un savant singulier, solitaire, qui préfère, à l'admiration de ses pairs, rester cloîtré avec sa mère. Et lorsqu'en 2006. Grigori Perelman se voit décerner la plus haute distinction mathématique, la médaille Field, il la refuse et préfère encore le silence de ses recherches. Le récit de George Szpiro retrace cette passionnante épopée qui appartient à la science comme à l'histoire. En analysant la personnalité de Grigori Perelman, il nous offre aussi une description fascinante de la créativité dans le plus abstrait des domaines.

Grigori Perelman face à la conjecture de Poincaré

Présentation de l'éditeur
Quelle est la forme de l'Univers ? Cette question tourmente physiciens et mathématiciens depuis des siècles. En 1904, Henri Poincaré énonce une conjecture permettant de donner la réponse. Mais ce n'est qu'une conjecture, et elle doit être prouvée. Cela va occuper les mathématiciens du monde entier jusqu'à... 2006. Une fondation américaine a même promis un million de dollars à qui trouverait la clé de l'énigme. Ce livre retrace l'épopée de cette conjecture et de celui qui la prouva, Grigori Perelman, récompensé le 22 août 2006 par la médaille Fields (le Nobel des mathématiques). Mais ce génie solitaire refuse tout net et la médaille et le million de dollars. Le fun en maths, dit-il, c'est de trouver, pas de s'enrichir.

Ce site offre un résumé de concepts et méthodes mathématiques. Il est destiné à aider les nouveaux élèves de Polytech'Savoie mais aussi tous ceux qui, à un moment donné de leurs études pourront éprouver le besoin de revoir certaines notions. Il aborde notamment des points où les élèves-étudiants de Polytech'Savoie et de l’Esigec rencontraient quelques difficultés. Celles-ci peuvent être liées à une mauvaise assimilation des programmes des années antérieures, à des oublis ou à des sujets jamais abordés lors du cursus précédant l’entrée à Polytech'Savoie.

Source : les indégivrables

C’est une bonne règle à appliquer : lorsqu’un mathématicien ou un philosophe écrit avec une profondeur nébuleuse, il ne dit que des balivernes.

John Henry Constantine Whitehead