Le blog-notes mathématique du coyote

Le Vol. 9.2, Eté-Automne 2014, de l'excellente revue québecoise Accromath est disponible en ligne.

Images des Mathématiques organise jusqu’au 6 janvier 2015 le 4e concours BD « Bulles au carré ».
Chaque participant créera un scénario sur le thème : « égalité ». Le sujet est volontairement assez large. Il n’a pas été défini de façon plus précise pour qu’il y ait différentes facettes de l’égalité, que chacun puisse y apporter ce qu’il y voit ou comprend. Signe « égal », égalité mathématique, égalité sociale, jeux de mots ... toutes les interprétations sont possibles.

Pour en savoir plus

Préparer un tour de magie ou construire des colliers de perles particuliers revient en fait à trouver un circuit particulier dans un graphe ayant de nombreuses propriétés mathématiques. Nous vous présentons ici un tour digne d’un magicien professionnel. Dans une salle de spectacle, ou pour une prestation en « close-up », le prestidigitateur présente brièvement aux spectateurs attentifs un jeu de trente-deux cartes. Il s’agit d’un jeu de belote tout à fait classique. Les cartes du paquet paraissent être disposées de façon aléatoire.
« Vous conviendrez aisément que ce jeu n’a pas été classé de façon particulière » lance le magicien. Ensuite, celui-ci propose à un spectateur désigné au hasard (n’ayez crainte, il ne s’agit nullement d’un comparse) de couper le jeu.
Ensuite, ce spectateur prend la carte en haut du paquet (sans la montrer au magicien) et distribue à ses voisins les cinq cartes au sommet du tas. Le magicien ne voit pas les cartes distribuées. A la demande du magicien, ces cinq personnes énoncent, à haute voix, la couleur de leur carte (simplement s’il s’agit d’une carte rouge ou noire). On a pris soin de ne pas rendre le jeu au magicien et celui-ci ne dispose d’aucune autre information que la couleur des cinq cartes. Il ne trichera pas plus que nécessaire...
Cependant, après s’être concentré, le maître énonce une à une les six cartes que les spectateurs cachent en main (y compris la carte du premier spectateur, dont le magicien ne connaissait a priori rien, même pas la couleur). Les six spectateurs étonnés montrent leur carte à l’ensemble du public qui applaudit alors chaudement.
Ce tour, plutôt époustouflant, vous en conviendrez, repose sur une propriété combinatoire : l’astuce est de ranger les cartes du paquet de façon spécifique. En effet, le magicien avait, au préalable, classé les cartes du jeu. Il y a toujours un truc ! Nous allons vous expliquer sur quoi ce tour est basé et comment le réaliser.

Lire l'article de Michel Rigo sur Images des maths.

Voir aussi sur le même sujet l'article de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science 441 de juillet 2014.

Une question anodine datant de 1917 et concernant la « plus petite surface du plan à l’intérieur de laquelle on puisse retourner une aiguille » va vous conduire jusqu’aux nombres premiers.

Lire l'article sur Images des maths

La maison d'édition MuangThai Book Center, a choisi d'illustrer un manuel de mathématiques avec la photo d'une institutrice. La jeune femme, vêtue d'une veste, d'une chemise et tenant un cahier, donne l'impression d'être une véritable professeure.

Les illusions sont parfois trompeuses. En réalité, la demoiselle, Mana Aoki, est une actrice de films X. La photo est tirée du film Costume Play Working Girl. Les manuels, destinés aux écoliers, ont été distribués à près de 3.000 exemplaires. L'erreur a été repérée par un internaute thaïlandais. Sur son compte Twitter, il a posté quelques photos très suggestives, qui ont fait le tour du Web. Avec près de 11.000 retweets, l'histoire a évidemment provoqué beaucoup de remous. Devant le tollé général, le manuel scolaire a été retiré de la vente. MuangThai Book Center, la maison d'édition, a expliqué avoir choisi la photo de manière aléatoire sur Internet et a présenté ses excuses.


Source : Le Figaro.fr

Le nombre d’histoires incroyables relatives au Loto paraît inépuisable. Voici une anecdote ahurissante, qui est arrivée en 2005.
Vous connaissez tous les biscuits chinois à horoscope, qui renferment un petit bout de papier censé prédire votre avenir. Bien souvent, le message contenu dans le biscuit est énigmatique, absolument incompréhensible ou à mourir de rire. Du genre : « vous mourrez seul et mal habillé », ou « les anneaux en caoutchouc vont dans la bonne direction ». Certes…
En bref, ils sont souvent l’occasion de rigoler un bon coup à la fin d’un repas au resto chinois du coin. Sauf que parfois, dans un style bien plus pragmatique et compréhensible, l’horoscope vous dévoile aussi vos numéros de chance. La société Wonton Food Inc. avait imprimé des milliers d’horoscopes avec les chiffres 22, 28, 32, 33, 39, 40. Et, dans un hasard extraordinaire, ce sont exactement ces chiffres qui sont sortis au tirage 30 mars 2005 du Powerball, à part le 40 (c’est le 42 qui est sorti).
Fait encore plus amusant, 110 personnes, suivant aveuglément les conseils du message de leur biscuit chinois, ont joué ces numéros, et donc gagné au second rang. Lorsqu’ils ont découvert les résultats, les responsables de la loterie furent terrorisés. Autant de gagnants au rang 2, c’est absolument anormal. Une enquête a donc été lancée, mais heureusement il ne fut pas question de fraude : c’était simplement la faute à un biscuit chinois !
Même si les gains ont été fortement réduits à cause du nombre de gagnants, l’inspiration de ces personnes superstitieuses leur a tout de même rapporté 100 000 ou 500 000 dollars (en raison d’un bonus accordé par la loterie). Et, pour conclure l’anecdote, les chiffres gagnants étaient assortis du message suivant : « tous les préparatifs que vous avez effectués vont enfin finir par payer ». En effet !

Source : tirage-euromillions.net

L'académie en ligne propose de nombreux cours pour tous les niveaux, en maths et aussi dans les autres disciplines. Il faut d'abord choisir le niveau, puis la discipline.

Il est 14h57.
Cette horloge (Mengenlehre Uhr) se trouve au Europa Center (Wittenbergplatz), à Berlin. Son fonctionnement est bien expliqué sur cet article de blogdemaths.

(jeu de 32 cartes)

Demandez à un spectateur :

1. de choisir un nombre N compris entre 20 et 29 ;
2. de faire un tas de N cartes ;
3. d'ajouter les deux chiffres qui composent ce nombre ;
4. de regarder la carte située à cette position à partir du dessous de son paquet ;
5. de remettre la carte à sa place et de replacer sous le paquet le reste du jeu.

Prenez alors l'ensemble du jeu, faces cachées, et jetez les cartes au fur et à mesure que vous épelez : "V-O-I-L-A L-A C-A-R-T-E C-H-O-I-S-I-E". Vous retournez la dernière carte. C'est la bonne !!!

Pour l'explication du tour, voir le blog du professeur Rometus.

Sur les doigts jusqu'à 9999
La Numération digitale des Anciens à la Renaissance
Jérôme Gavin, Alain Schärlig
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes
4 septembre 2014
164 pages


Présentation de l'éditeur
Qui n'a jamais montré un nombre sur ses doigts? Pour nous c'est commun. Mais notre limite, c'est 10... Les anciens, eux, montaient jusqu'à 99 sur une seule main. Et donc jusqu'à 9999 sur les deux en cas de besoin. Et ils l'ont fait pendant au moins deux mille ans. C'est ce qui est décrit dans ce livre: ses auteurs ont trouvé des traces de la numération digitale depuis les anciens Grecs jusqu'aux Persans du 17e siècle, en passant par des bas-reliefs romains, un docteur de l'Eglise du 8e siècle, et des icônes byzantines.

Selon l'ex-directeur de l'Instruction publique du canton de Zurich, la maturité ne suffit plus à préparer aux hautes études.

Les étudiants qui commencent leur cursus ont souvent entendu cette phrase: «Regardez qui est à votre gauche et qui est à votre droite. Statistiquement, une de ces deux personnes n’ira pas au bout.» Les chiffres officiels des universités vont dans ce sens: en moyenne, un étudiant en bachelor sur trois change de voie ou abandonne en cours de route.
Pour Ernst Buschor, ex-conseiller d'Etat responsable de l'Instruction publique zurichoise, ce taux s'explique par un déficit de formation au gymnase. Pour faire un premier tri, nombre de facultés ont instauré une année de préparation ou ont limité le nombre d'inscriptions, comme c'est le cas pour la médecine, note la «Schweiz am Sonntag». Aux yeux de l’ancien politicien PDC, cela ne va pas assez loin: «On pourrait imaginer des examens d'entrée, des inscriptions sur dossier ou exiger des notes minimales aux examens de maturité», propose-t-il.
L'idée semble faire mouche dans le milieu académique. Si le président de l'Ecole polytechnique de Zurich, Ralph Eichler, estime que les bacheliers ont «un bon niveau», il explique avoir déjà émis le souhait que les étudiants entrent avec une note minimale en maths et dans leur langue maternelle. Quant aux examens d’entrée, ils se justifieraient si le nombre de titulaires de la maturité continuait d'augmenter, entraînant «une baisse de niveau générale».
En 2012, plus du tiers des 19-21 ans avaient obtenu ce diplôme. Ils étaient 26% en 2000, selon les chiffres de l’Office fédéral de la statistique.

Source : 20 minutes

J'ai déjà présenté ce tour de "magie" dans un précédent billet. Mais ici, il y a en plus l'explication, qui est très intéressante.

Longitude
L'histoire vraie du génie solitaire qui résolut le plus grand problème scientifique de tous les temps
Dava Sobel
Seuil (15 mai 1998)
193 pages

Présentation de l'éditeur
Lors des grands voyages d'exploration du XVIIIe siècle, les mauvaises estimations de la longitude, dues à la faible qualité des chronomètres de marine, furent la cause de bien des naufrages. Savants célèbres et techniciens émérites proposèrent quantité de méthodes sophistiquées pour résoudre ce problème. Pourtant, l'histoire des sciences ayant parfois des allures de roman, c'est un humble horloger, John Harrison, qui trouva la solution. Il construisit le premier chronomètre résistant à la houle du grand large mais dut faire face à l'animosité du milieu scientifique et à la mauvaise foi des représentants de l'Empire britannique. Une incroyable histoire dont tous les fils politiques, scientifiques ou académiques sont ici brillamment dénoués.

L’université de Kasetsart à Bangkok vient d’expérimenté un procédé un peu spécial : un casque anti-triche. Ce sont les élèves eux-mêmes qui l'ont conçu à la demande de leur professeur ! Testé par 90 étudiants cette année, le couvre-chef s'est attiré de nombreuses critiques sur Facebook après publication de la photo de l’examen. Les internautes y décrivent les étudiants à œillères comme soumis, opprimés ou tricheurs.

Comme tous les quatre ans depuis 1950, le Congrès international des mathématiciens (ICM, International Congress of Mathematicians) est l’occasion de l’attribution de la mythique médaille Fields que l’on considère comme l’équivalent du prix Nobel. Elle s’accompagne d’un prix d’environ 11.000 euros et les lauréats, quatre mathématiciens au plus, doivent être âgés de moins de 40 ans. Les premières médailles Fields ont en réalité été décernées en 1936 et, fait qui peut intriguer, depuis cette époque les 52 lauréats étaient tous des hommes.
Cette année, l’ouverture de l’ICM s’accompagne d’un véritable coup de tonnerre puisqu’il a été annoncé officiellement qu’en plus du Franco-Brésilien Artur Avila, de l'Autrichien Martin Hairer et du Canado-Américain Manjul Bhargava, il y avait une femme parmi les lauréats. Il s’agit de la mathématicienne iranienne Maryam Mirzakhani. Le fameux journal Quanta Magazine de la Simons Foudation consacre d’ailleurs un article entier à la chercheuse. Pure produit du système d’éducation ultra-élitiste en Iran, la mathématicienne n’en a pas moins passé son doctorat à l’université d’Harvard aux États-Unis sous la direction d’un autre lauréat de la médaille Field, Curtis McMullen. Après avoir décroché son diplôme en 2004, elle passera quelques années à Princeton avant de s’établir à Stanford où elle est professeur depuis 2008.

Née en 1977 à Téhéran a fait partie d’une génération qu'elle décrit comme chanceuse, c'est-à-dire ceux dont l’adolescence s’est déroulée après la guerre Iran-Irak. Initialement, elle n’avait pas l’intention de devenir mathématicienne et s’intéressait à tous les livres qui pouvaient lui tomber sous la main. Sortant de l’école primaire, elle a même eu pendant un temps une expérience désagréable avec les mathématiques. Un de ses professeurs pensait même qu’elle n’était pas particulièrement douée, ce qui a été une source de découragement pour elle, brisant temporairement sont intérêt naissant pour les mathématiques. Heureusement, cette situation ne dura pas longtemps et au cours des années qui allaient suivre, elle se révéla être un prodige en mathématique. Elle décrochera deux fois la médaille d’or aux Olympiades internationales de mathématiques en 1994 à Hong Kong puis en 1995 à Toronto avec le plus haut score possible.

Des surfaces complexes fertiles en applications

Les travaux de la mathématicienne portent sur la géométrie et la topologie de ce qu’on appelle les surfaces de Riemann, des surfaces comme celle d’une sphère ou d’un bretzel dont la description est étroitement liée aux fonctions dont les variables sont des nombres complexes. La chercheuse s’est plus particulièrement intéressée à celles dotées d’une métrique dite hyperbolique. La surface d’une selle de cheval, avec sa courbure négative différente de celle d’une sphère qui est positive, possède une métrique hyperbolique. Avec son collègue le mathématicien Alex Eskin elle a établi des ponts remarquables entre la théorie des surfaces de Riemann et la théorie des systèmes dynamiques. Comme dans le cas des travaux de Yakov Sinai sur la théorie ergodique, les deux chercheurs ont utilisé le comportement des trajectoires de boules sur des billards de formes diverses pour explorer le comportement de certains de ces systèmes dynamiques.
Situés à l’intersection de la géométrie différentielle, de la topologie et de la théorie des fonctions les travaux de Maryam Mirzakhani relèvent de prime abord des mathématiques pures mais on sait bien que celles-ci ont souvent, parfois des décennies et même des siècles plus tard, des implications inattendues dans les sciences naturelles. Comme la théorie des surfaces de Riemann occupe un position très importante dans le cadre de la théorie de supercordes, et même dans divers secteurs de la physique, on peut peut-être s’attendre à quelques surprises. D’autant plus que certains résultats obtenus par la mathématicienne sont déjà en connexion avec la théorie des cordes et les travaux de deux autres lauréats de la médaille Fields sur le sujet, Edward Witten et Maxim Kontsevich.
On peut penser que cette première attribution d’une médaille Fields à une femme servira à réduire l’écart entre le nombre de mathématiciens masculins et féminins comme l’espère la chercheuse qui a déclaré dans un communiqué de l’université de Stanford : « c'est un grand honneur et je serais heureuse si cela encourage de jeunes femmes scientifiques et mathématiciennes », ajoutant « je suis convaincue que de nombreuses autres femmes recevront ce type de récompense dans les prochaines années ».

Source : Futura-Sciences

Décidément, le jeu Dobble a la faveur des mathématiciens, puisque voici un autre article sur ce sujet.

Exercices ordinaires de probabilités
Gérard Frugier
Ellipses Marketing (11 février 2010)
351 pages

Présentation de l'éditeur
Ce livre d'exercices corrigés s'adresse à ceux qui s'intéressent aux probabilités élémentaires : dénombrement, événements, probabilité, indépendance, probabilité conditionnelle ; variables aléatoires discrètes, lois binomiales, lois hypergéométriques ; lois géométriques, lois de Poisson, fonctions génératrices ; variables aléatoires à densité, lois normales, lois exponentielles. Les énoncés, rédigés sur le mode humoristique, ont un contenu mathématique rigoureux. Chaque exercice est suivi d'une solution complète.

Non, Candy Crush Saga n’est pas un jeu vidéo ridicule, c’est un problème NP-complet. Toby Walsh, de l’Université de Nouvelles-Galles du Sud (Australie), a publié en mars 2014 une étude démontrant que ce jeu s’apparente à la catégorie la plus complexe de “problèmes de décision”. Un problème de décision est une question mathématique dont la solution est soit oui soit non. La branche des maths appelée informatique théorique associe à la question posée un algorithme renvoyant une solution. Mais vue la difficulté des problèmes NP-complets, les algorithmes connus pour les résoudre sont inexploitables. Les 93 millions de personnes s’adonnant chaque jour à Candy Crush vont-elles permettre de surmonter cette difficulté ? Par exemple, si les chercheurs cachaient de vrais problèmes NP-complets dans le jeu ?

Source : Sciences pour tous